Cât

Câtul împărțirii a 12 mere în 3 este 4.

În aritmetică, câtul este o cantitate produsă prin împărțirea a două numere. Câtul este adesea folosit în matematică și poate fi poate fi considerat ca partea întreagă a unei împărțiri (în cazul împărțirii euclidiene). Spre exemplu, dacă împărțim $20$ (numărătorul) la $3$ (numitorul), cătul va fi $6$ și restul va fi $2$. Câtul este raportul dintre numărător și numitor.

Notația

Câtul este cel mai des întâlnit ca două numere, sau două variabile, separate printr-o linie orizontală. Cuvintele "numărător" și "numitor" se referă la parțile individuale, în timp ce câtul se referă la total.$$\frac{1}{2}\begin{array}{cc}& \leftarrow \text{deîmpărțit sau numărător}\\ & \leftarrow \text{împărțitor sau numitor}\end{array}\}\leftarrow \text{câtul}$$

Definiția părții întregi

Câtul mai este definit și ca cel mai mare număr întreg care înmulțit cu un numitor poate fi scăzut din numărător fara a obține un rest negativ. Spre exemplu, numitorul $3$ poate fi scăzut de $6$ ori din numărătorul $20$ fără ca restul scăderii să devină negativ.

$20-3-3-3-3-3-3\ge 0$,

pe când

$20-3-3-3-3-3-3-3<0$.

În acest sens, câtul este partea întreagă a raportului a două numere.

Câtul a două numere întregi

Un număr rațional poate fi definit ca câtul a doua numere întregi (cât timp numitorul este diferit de zero).

O definiție mai detaliată este următoarea:

Un număr real $r$ este rațional, dacă și numai dacă poate fi exprimat ca un cât a două numere întregi cu numitorul diferit de zero. Un număr real care nu este rațional este irațional.

Sau mai formal:

Dat fiind un număr real $r$, $r$ este rațional dacă și numai dacă există numerele întregi $a$ și $b$ astfel încât $r=\frac{a}{b}$ și $b\ne 0$.

Existența numerelor iraționale—numere care nu sunt câtul a doi întregi—a fost descoperită în geometrie, în lucruri precum raportul dintre diagonala și latura unui pătrat.

Câturile mai generale

În afara aritmeticii, multe ramuri ale matematicii au împrumutat cuvântul "cât" pentru a descrie structuri construite prin spargerea unor structuri mai mari în bucăți. Dată fiind o mulțime cu o relație de echivalență, o mulțime a câturilor poate fi creată care să conțina acele clase de echivalență ca elemente. Un spațiu al câturilor poate fi format prin spargerea unui spațiu vectorial într-un număr de subspații liniare similare.

Vezi și

• Înmulțire (matematică)
• Împărțire (matematică)
• Inel (matematică)
• Mulțime
• Categorie (matematică)