Triplet pitagoreic

Teorema lui Pitagora: Format:Nowrap

Animație ce demonstrează cel mai simplu caz de triplet pitagoreic: 3² + 4² = 5².

Un triplet pitagoreic este format din trei numere naturale nenule a, b și c, cu proprietatea că Format:Nowrap. Acest triplet este de obicei notat Format:Nowrap, iar printre exemplele cele mai întâlnite se numără tripletul Format:Nowrap. Dacă Format:Nowrap este un triplet pitagoreic, atunci (ka, kb, kc) este tot un triplet pitagoreic pentru oricare număr întreg pozitiv k. Un triplet pitagoreic primitiv este un triplet format din a, b și c astfel încât numerele să fie prime între ele.

Numele este derivat din denumirea teoremei lui Pitagora; astfel, tripletele pitagoreice descriu trei laturi de lungime numere naturale ale unui triunghi dreptunghic.

Forma generală

Forma generală a unui triplet pitagoreic este dată de relațiile: $a=m(u^2-v^2),b=2muv,c=m(u^2+v^2)$ (sau eventual cu $a$ și $b$ interschimbate), unde $u$ și $v$ sunt numere întregi pozitive, coprime, de parități diferite, cu $u>v,$ iar $m$ este un număr întreg pozitiv.

Acest rezultat se poate folosi și pentru rezolvarea unor ecuații diofantice.

Exemplu

Ecuația pitagoreică „negativă”: $x^{-2}+y^{-2}=z^{-2}$.

Se prelucrează ecuația $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}$

$\frac{x^2+y^2}{x^2{y}^2}=\frac{1}{z^2},$

$x^2+y^2=(\frac{xy}{z}{)}^2.$ Dacă $(x,y,z)$ este soluție a ecuației, atunci $z|xy$ și $x^2+y^2$ este pătrat perfect.

Notând m $x^2+y^2=t^2,t\in {\mathbb{N}}^{*}$ rămâne de rezolvat ecuația

$t=\frac{xy}{z}$

Fie $d=(x,y,t)$ de unde rezultă $x=ad,y=bd,t=cd,$ unde $a,b,c\in {\mathbb{Z}}_{+}$ cu $(a,b,c)=1$.

Ecuația va fi echivalentă cu

$z=\frac{abd}{c}$

Din notarea ecuației cu $t$ se obține

$a^2+b^2=c^2$

Din $z=\frac{abd}{c}$ și $z$ număr natural rezultă că $c|d$ adică $d=kc,k\in \mathbb{N}$.

Prin urmare

$x=ad=kac,y=bd=kbc,t=cd=k{c}^2,z=kab$

Ecuația $a^2+b^2=c^2$ are soluțiile

$a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2.$

Soluțiile ecuației date sunt:

$x=k(m^4-n^4),y=2kmn(m^2+n^2),z=2kmn(m^2-n^2),$ cu $k,m,n\in {\mathbb{Z}}_{+}$ și $m>n$.

Legături externe

• Format:MathWorld
• Pythagorean Triples la cut-the-knot Aplicație interactivă ilustrând relația dintre cercul unitate și tripletele pitagoreice (engleză)