Bicorn (matematică)

În geometrie curba bicorn este o cuartică plană rațională definită de ecuația:^[1]

y^{2} (a^{2} - x^{2}) = (x^{2} + 2 a y - a^{2})^{2} .

Are două puncte de întoarcere și este simetrică față de axa Format:Mvar.^[2]

Istoric

În 1864, James Joseph Sylvester a studiat curba

y^{4} - x y^{3} - 8 x y^{2} + 36 x^{2} y + 16 x^{2} - 27 x^{3} = 0

în legătură cu clasificarea ecuațiilor algebrice de gradul al cincilea. El a numit curba „bicorn” pentru că are două puncte de întoarcere. Această curbă a fost studiată în continuare de Arthur Cayley în 1867.^[3]

Bicornul este o Format:Ill-wd plană de gradul patru și genul zero. Are două singularități de tip punct de întoarcere în planul real și un punct dublu în planul proiectiv complex, la Format:Math, Format:Math. Dacă se mută Format:Math și Format:Math în origine și se efectuează o rotație imaginară în Format:Mvar substituind Format:Mvar/Format:Mvar la Format:Mvar și 1/Format:Mvar la Format:Mvar în curba bicornului, se obține

{(x^{2} - 2 a z + a^{2} z^{2})}^{2} = x^{2} + a^{2} z^{2} .

Această curbă, un melc al lui Pascal, are un punct dublu ordinar în origine și două noduri în planul complex, la $x = \pm i$ și $z = 1 .$ ^[4]

Ecuațiile parametrice ale unei curbe bicorn sunt

x = a \sin (θ)

și

y = a \frac{\cos^{2} (θ) (2 + \cos (θ))}{3 + \sin^{2} (θ)}

cu

- π \leq θ \leq π .