4-politop regulat

Tesseractul este unul dintre cele 6 4-politopuri regulate convexe

În matematică, un 4-politop regulat este un politop 4-dimensional regulat. Aceste politopuri sunt analoagele în patru dimensiuni ale poliedrelor regulate din trei dimensiuni și ale poligoanelor regulate din două dimensiuni.

4-politopurile regulate au fost descrise pentru prima dată de către matematicianul elvețian Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea, deși setul complet nu a fost descoperit decât mai târziu.

Există șase astfel de politopuri convexe și zece politopuri stelate regulate, în total șaisprezece.

Istoric

4-politopurile convexe regulate au fost descrise pentru prima dată de către matematicianul Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea. El a descoperit că sunt exact șase astfel de figuri. Schläfli a găsit, de asemenea, patru dintre 4-politopurile stelate regulate: marele 120-celule, marele 120-celule stelat, marele 600-celule și marele larg 120-celule stelat. El a omis restul de șase, deoarece nu a admis formele care nu satisfac caracteristica Euler pe celule sau figura vârfului (pentru toruri cu zero găuri: F − E + V = 2). Aceasta exclude celulele și figurile vârfului pentru {5,5/2} și {5/2,5}.

Edmund Hess (1843–1903) a publicat lista completă în cartea sa din 1883 „Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder” (în Format:Ro).

Construcție

Existența unui 4-politop regulat ${p, q, r}$ este constrânsă de existența poliedrelor regulate ${p, q}, {q, r}$ care formează celulele sale și o constrângere dată de unghiul diedru:

\sin \frac{π}{p} \sin \frac{π}{r} > \cos \frac{π}{q}

pentru a se asigura că celulele se întâlnesc pentru a forma o 3-frontieră închisă. Cele șase politopuri convexe și zece stelate menționate sunt singurele soluții care satisfac aceste constrângeri.

Există patru simboluri Schläfli {p,q,r} pentru 4-politopuri neconvexe care au celule valide {p,q} și figurile vârfului {q,r}, și satisfac condiția diedrică, dar nu pot produce figuri finite: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4} și {5/2,3,5/2}.

4-politopuri regulate convexe

4-politopurile regulate convexe sunt analoagele în patru dimensiuni ale poliedrelor platonice din trei dimensiuni și ale poligoanelor regulate convexe din două dimensiuni.

Cinci din cele șase sunt în mod clar analoagele celor cinci poliedre platonice corespunzătoare. Al șaselea, 24-celule, nu are un analog regulat în trei dimensiuni. Însă există o pereche de poliedre neregulate, cuboctaedrul și dualul său, dodecaedrul rombic, care sunt parțial analoage cu 24-celule (în moduri complementare). Împreună pot fi considerate ca analogul tridimensional al 24-celule.

Fiecare 4-politop convex regulat este delimitat de un set de 3 celule, care sunt toate poliedre platonice de același tip și dimensiune. Acestea sunt grupate împreună având fețele lor în contact în mod regulat.

Proprietăți

Următoarele tabele enumeră câteva proprietăți ale celor șase 4-politopuri convexe. Grupurile de simetrie ale acestor 4-politopuri sunt toate grupuri Coxeter și sunt date în notația descrisă în acel articol. Numărul care urmează denumirii grupului este ordinul grupului.

Nume	Familie	Schläfli Coxeter	V	L	F	C	Fig. vârf	Dual	Grup de simetrie
5-celule 4-simplex	n-simplex (familia A_n)	{3,3,3} Format:CDD	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	(autodual)	A₄ [3,3,3]	120
16-celule 4-ortoplex	n-ortoplex (familia B_n)	{3,3,4} Format:CDD	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8-celule	B₄ [4,3,3]	384
8-celule tesseract 4-cub	hipercub n-cub (familia B_n)	{4,3,3} Format:CDD	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16-celule	B₄ [4,3,3]	384
24-celule octaplex polioctaedru (pO)	familia F_n	{3,4,3} Format:CDD	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	(autodual)	F₄ [3,4,3]	1152
600-celule tetraplex politetraedru (pT)	n-politop pentagonal (familia H_n)	{3,3,5} Format:CDD	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120-celule	H₄ [5,3,3]	14400
120-celule dodecaplex polidodecaedru (pD)	n-politop pentagonal (familia H_n)	{5,3,3} Format:CDD	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600-celule	H₄ [5,3,3]	14400

John Conway a susținut denumirile „simplex”, „ortoplex”, „tesseract”, „octaplex” sau „polioctaedru” (pO), „tetraplex” sau „politetraedru” (pT) și „dodecaplex” sau „polidodecaedru” (pD).^[1]

Norman Johnson a susținut denumirile „n-celule”, „tesseract” și încă câteva denumiri întâlnite în literatura în limba engleză, ca polychoron, bazate pe cuvintele din limba Format:Gr (în Format:Ro) și χώρος (în Format:Ro),^[2]^[3] însă în limba română traducerea lui „choros” drept sufix „-cor”^[4] nu este folosită în matematică.

Caracteristica Euler pentru toate 4-politopurile este zero, analogul 4-dimensional al formulei poliedrice a lui Euler este:

N_{0} - N_{1} + N_{2} - N_{3} = 0

unde N_k indică numărul de k-fețe din politop (un vârf este o 0-față, o latură este o 1-față etc.). Aceast aspect este caracteristic politopurilor cu un număr par de dimensiuni și este evidențiat simplu de dualitate.

Topologia oricărui 4-politop este definită de numerele Betti și coeficienții de torsiune.^[5]

Configurații descriptive

Un 4-politop regulat poate fi complet descris de o matrice de configurație care conține numărul elementelor sale componente. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor și celulelor. Numerele de pe diagonala principală (din stânga sus în dreapta jos) arată câte din fiecare tip de element apar în întregul 4-politop. Celelalte numere arată câte elemente ale coloanei apar pentru sau la elementul rândului. De exemplu în orice 4-politop regulat există 2 vârfuri "pentru" fiecare latură (fiecare latură "are" 2 capete) iar 2 celule se întâlnesc "la" fiecare față (fiecare față "aparține" de 2 celule). Se observă că configurația politopului dual poate fi obținută prin rotirea matricei cu 180°.^[6]^[7]

5-celule {3,3,3}	16-celule {3,3,4}	tesseract {4,3,3}	24-celule {3,4,3}	600-celule {3,3,5}	120-celule {5,3,3}
$[\begin{matrix} \begin{matrix} 5 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 10 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 10 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 5 \end{matrix} \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} \begin{matrix} 8 & 6 & 12 & 8 \\ 2 & 24 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 32 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 16 \end{matrix} \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} \begin{matrix} 16 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 32 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 24 & 2 \\ 8 & 12 & 6 & 8 \end{matrix} \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} \begin{matrix} 24 & 8 & 12 & 6 \\ 2 & 96 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 96 & 2 \\ 6 & 12 & 8 & 24 \end{matrix} \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} \begin{matrix} 120 & 12 & 30 & 20 \\ 2 & 720 & 5 & 5 \\ 3 & 3 & 1200 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 600 \end{matrix} \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} \begin{matrix} 600 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 1200 & 3 & 3 \\ 5 & 5 & 720 & 2 \\ 20 & 30 & 12 & 120 \end{matrix} \end{matrix}]$

Vizualizare

Tabelul următor prezintă câteva proiecții bidimensionale ale acestor 4 politopuri. Diverse alte vizualizări pot fi găsite în legăturile externe de mai jos. Diagramele Coxeter–Dynkin sunt și ele date sub simbolul Schläfli.

A₄ = [3,3,3]	B₄ = [4,3,3]		F₄ = [3,4,3]	H₄ = [5,3,3]
5-celule	8-celule	16-celule	24-celule	120-celule	600-celule
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD	Format:CDD
Poliedre 3D în proiecție ortogonală
Anvelopă tetraedrică (centrată pe celulăl/vârf)	Anvelopă cubică (centrată pe celulă)	Anvelopă cubică (centrată pe celulă)	Anvelopă cuboctaedrică (centrată pe celulă)	Anvelopă triacontaedrică rombică trunchiată (centrată pe celulă)	Anvelopă icosidodecaedrică pentakis (centrată pe vârf)
Diagrame Schlegel cadru de sârmă ( proiecție centrală)
centrată pe celulă	centrată pe celulă	centrată pe celulă	centrată pe celulă	centrată pe celulă	centrată pe vârf
Proiecții stereografice cadru de sârmă (3-sferă)

4-politopuri regulate stelate (Schläfli–Hess)

4-politopurile Schläfli–Hess sunt setul complet de 10 politopuri stelate regulate cvadridimensionale.^[9] Ele sunt numite astfel în onoarea descoperitorilor lor, Ludwig Schläfli și Edmund Hess. Fiecare este reprezentat de un simbol Schläfli {p,q,r} în care unul dintre numere reprezintă o pentagramă (5/2). Astfel, acestea sunt analoage neconvexe regulate ale poliedrelor Kepler–Poinsot, care sunt, la rândul lor, analoagele pentagramei.

Denumiri

Numele le-au fost date de John Conway, extinzând numele date de Arthur Cayley poliedrelor Kepler–Poinsot. Împreună cu „stelat” (în Format:En) și „mare” (în Format:En), a adaugat modificatorul „larg” (în Format:En). Conway a oferit aceste definiții operaționale:

stelare (în Format:En, simbol „s”) – înlocuiește laturile (muchiile) cu altele mai lungi care sunt pe aceleași drepte. (Exemplu: un pentagon stelează într-o pentagramă)
mărire (în Format:En, simbol „g”) – înlocuiește fețele cu altele mai mari care sunt în aceleași plane. (Exemplu: un icosaedru se mărește în marele icosaedru)
lărgire (în Format:En, simbol „a”) – înlocuiește celulele cu celule mai mari în aceleași 3-spații. (Exemplu: un 600-celule se transformă în largul 600-celule)

John Conway denumește cele 10 forme ale 4-politopurilor cu 3 forme de celule regulate: pT = politetraedru {3,3,5} (600-celule teraedrice), pI = poliicosaedru {3,5,5/2} (120-celule icosaedrice), respectiv pD = polidodecaedru {5,3,3} (120-celule dodecaedrice), cu prefixele g, a, și s pentru mare, larg și (în limba română sufix) stelat. Stelarea finală, marele larg polidodecaedru stelat conține toate acestea în gaspD.

Simetrie

Toate cele zece 4-politopuri au simetrii [3,3,5] (H₄). Ele sunt generate din cele 6 grafuri liniare asociate cu tetraedrul Goursat: [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] și [3,3,5/2].

Fiecare grup generează câte 2 4-poliedre stelate, cu excepția a două grupuri care sunt auto-duale, care generează doar câte unul. Deci între cele zece 4-politopuri stelate regulate există 4 perechi duale și 2 forme autoduale.

Proprietăți

De reținut:

Există 2 aranjamente ale vârfurilor unice, care se potrivesc cu cele ale 120-celule și 600-celule.
Există 4 aranjamente ale laturilor unice, care sunt afișate ca proiecții ortogonale ale cadrelor de sârmă.
Există 7 aranjamente ale fețelor unice, care sunt prezentate ca proiecții ortografice colorate pe fețe.

Celulele (poliedre), fețele lor (poligoane), figurile laturilor și ale vârfurilor sunt identificate prin simbolurile Schläfli ale acestora.

Nume Conway (abrev.)	Schläfli Coxeter	C {p, q}	F {p}	L {r}	V {q, r}	Dens.	χ
120-celule icosaedric poliicosaedru (pI)	{3,5,5/2} Format:CDD	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480
Micul 120-celule stelat polidodecaedru stelat (spD)	{5/2,5,3} Format:CDD	120 {5/2,5}	720 {5/2{5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480
Marele 120-celule marele polidodecaedru (gpD)	{5,5/2,5} Format:CDD	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
Largul 120-celule largul polidodecaedru (apD)	{5,3,5/2} Format:CDD	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0
Marele 120-celule stelat marele polidodecaedru stelat (gspD)	{5/2,3,5} Format:CDD	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0
Largul 120-celule stelat largul polidodecaedru stelat (aspD)	{5/2,5,5/2} Format:CDD	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0
Marele larg 120-celule marele larg polidodecaedru (gapD)	{5,5/2,3} Format:CDD	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480
Marele 120-celule icosaedric marele poliicosaedru (gpI)	{3,5/2,5} Format:CDD	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
Largul 600-celule largul politetraedru (apT)	{3,3,5/2} Format:CDD	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0
Marele larg 120-celule stelat marele larg polidodecaedru stelat (gaspD)	{5/2,3,3} Format:CDD	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0

4-politopuri infinite

Se cunosc următoarele 4-politopuri infinite regulate:

un fagure euclidian regulat: {4,3,4};
patru faguri hiperbolici regulați compacți: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} și {5,3,5};
unsprezece faguri hiperbolici regulați paracompacți: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} și {6,3,6}.

4-politopuri abstracte

Se cunosc următoarele 4-politopuri abstracte regulate:

11-celule {3,5,3};
57-celule {5,3,5}.

Note

Format:Listănote

Bibliografie

Legături externe

Format:Commonscat-inline
Format:En icon Format:Mathworld
Format:En icon Jonathan Bowers, 16 regular 4-polytopes
Format:En icon Regular 4D Polytope Foldouts Format:Webarchive
Format:En icon Catalog of Polytope Images O colecție de proiecții stereografice a 4-politopurilor.
Format:En icon A Catalog of Uniform Polytopes
Format:En icon Dimensions Un film de 2 ore despre a patra dimensiune (conține proiecții stereografice ale tuturor celor 4 politopuri regulate)
Format:En icon Format:GlossaryForHyperspace
Format:En icon Format:GlossaryForHyperspace
Format:En icon Format:GlossaryForHyperspace
Format:En icon Format:GlossaryForHyperspace
Format:En icon Format:GlossaryForHyperspace
Format:De icon Reguläre Polytope
Format:En icon The Regular Star Polychora
Format:En icon Hypersolids

Format:Portal Format:Politopuri

↑ Format:Harvnb
↑ Format:En icon "Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005
↑ Format:En icon Format:Cite book
↑ -cor, dexonline.ro, accesat 2021-03-30
↑ Format:En icon Format:Cite book
↑ Format:Harvnb
↑ Coxeter, Complex Regular Polytopes, p.117
↑ Format:Harvnb
↑ Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f{α,β,γ) p. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes

[1] Format:Harvnb

[2] Format:En icon "Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005

[3] Format:En icon Format:Cite book

[4] -cor, dexonline.ro, accesat 2021-03-30

[richeson-5] Format:En icon Format:Cite book

[6] Format:Harvnb

[7] Coxeter, Complex Regular Polytopes, p.117

[8] Format:Harvnb

[9] Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f{α,β,γ) p. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

4-politop regulat

Cuprins

Istoric

Construcție

4-politopuri regulate convexe

Proprietăți

Configurații descriptive

Vizualizare

4-politopuri regulate stelate (Schläfli–Hess)

Denumiri

Simetrie

Proprietăți

4-politopuri infinite

4-politopuri abstracte

Note

Bibliografie

Legături externe

Meniu de navigare

4-politop regulat

Istoric

Construcție

4-politopuri regulate convexe

Proprietăți

Configurații descriptive

Vizualizare

4-politopuri regulate stelate (Schläfli–Hess)

Denumiri

Simetrie

Proprietăți

4-politopuri infinite

4-politopuri abstracte

Note

Bibliografie

Legături externe

Meniu de navigare

Căutare