Derivarea inversei unei funcții

Curba groasă albastră și curba groasă ro șie sunt inverse una față de cealaltă. O curbă subțire este derivata aceleiași curbe groase de aceeași culoare. Regula derivării inversei funcției:
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x))}$

Exemplu pentru $x_0\approx 5,8$:
$f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{4}$
$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x_0))=4$

În calculul diferențial derivarea inversei unei funcții se referă la formula folosită pentru a găsi derivata inversei unei funcții bijective și derivabile  Format:Mvar  în funcție de derivata lui  Format:Mvar. Mai exact, dacă inversa lui  $f$ este notată prin $f^{-1},$ unde $f^{-1}(y)=x$ dacă și numai dacă $f(x)=y$, atunci regula derivării inversei unei funcții este în notația lui Lagrange

$\left[f^{-1}\right](a)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))}$

Această formulă este valabilă în general ori de câte ori $f$ este continuă și injectivă pe un interval  Format:Mvar cu $f$ derivabilă în $f^{-1}(a)$($\in I$) unde $f^{\prime }(f^{-1}(a))\ne 0$. Aceeași formulă este, de asemenea, echivalentă cu expresia

$𝒟\left[f^{-1}\right]=\frac{1}{(𝒟f)\circ \left(f^{-1}\right)},$

unde cu $𝒟$ este notat operatorul de derivare unar (pe spațiul funcțiilor) și cu $\circ$ este notată Format:Ill-wd.

Din punct de vedere geometric, o funcție și o funcție inversă au grafice care sunt reflexii față de dreapta $y=x.$ Această operație de reflectare transformă panta oricărei linii în inversa sa.

Presupunând că $f$ are o inversă în vecinătatea lui $x$ și că derivata sa în acel punct este diferită de zero, inversa sa este garantat a fi derivabilă în $x$ și are o derivată dată de formula de mai sus.

Regula derivării funcției inverse poate fi exprimată și în notația lui Leibniz. După cum sugerează această notație,

$\frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Această relație se obține prin diferențierea ecuației $f^{-1}(y)=x$ în fincție de Format:Mvar și, aplicând regula derivării funcțiilor compuse, rezultând că:

$\frac{dx}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dx}{dx}$

știind că derivata lui Format:Mvar în funcție de Format:Mvar este 1.

Derivare

Fie $f$ o funcție inversabilă (bijectivă) și $x$ în domeniul lui $f$, și fie $y$ în codomeniul lui $f.$ Deoarece $f$ este bijectivă, $y$ este în intervalul lui $f.$ De asemenea, aceasta înseamnă că $y$ este în domeniul lui $f^{-1}$ și că $x$ este în codomeniul lui $f^{-1}.$ Deoarece $f$ este o funcție inversabilă, se știe că $f(f^{-1}(y))=y.$ Regula derivării funcției inverse poate fi obținută calculând derivata acestei ecuații.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(f^{-1}(y))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}y$

Membrul drept este egal cu 1, iar regula derivării funcțiilor compuse poate fi aplicată membrului stâng:

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}(f(f^{-1}(y)))}{\mathrm{d}(f^{-1}(y))}\frac{\mathrm{d}(f^{-1}(y))}{\mathrm{d}y}& =1\\ \frac{\mathrm{d}f(f^{-1}(y))}{\mathrm{d}{f}^{-1}(y)}\frac{\mathrm{d}{f}^{-1}(y)}{\mathrm{d}y}& =1\\ f^{\prime }(f^{-1}(y))(f^{-1}{)}^{\prime }(y)& =1\end{array}$

Rearanjând, se obține:

$(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}$

În loc să se folosească $y$ ca variabilă, se poate rescrie această ecuație folosind $a$ ca intrare pentru $f^{-1}$ și se obține:

$(f^{-1}{)}^{\prime }(a)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))}$

Exemple

• $y=x^2$ (pentru Format:Mvar pozitiv) are inversa $x=\sqrt{y}$.

$\frac{dy}{dx}=2x;\frac{dx}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2x}$

$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}=2x\cdot \frac{1}{2x}=1$

În $x=0$, totuși există o problemă: graficul funcției rădăcinii pătrate devine vertical, corespunzând unei tangente orizontale pentru funcția de gradul al doilea.

• $y=e^x$ (pentru Format:Mvar real) are inversa $x=\ln y$ (pentru $y$ pozitiv)

$\frac{dy}{dx}=e^x;\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}=e^{-x}$

$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}=e^x\cdot e^{-x}=1.$

Proprietăți suplimentare

• Integrarea acestei relații dă

$f^{-1}(x)=\int \frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}dx+C$

Acest lucru este util numai dacă integrala există. În special, avem nevoie ca $f^{\prime }(x)$ să fie diferit de zero în intervalul de integrare.

Rezultă că o funcție care are o derivată continuă are o inversă într-o vecinătate a fiecărui punct în care derivata este diferită de zero. Acest lucru se poate să nu fie adevărat dacă derivata nu este continuă.

• O altă proprietate, foarte interesantă și utilă, este următoarea:

$\int f^{-1}(x)dx=x{f}^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C$

unde cu $F$ este notată integrala nedefinită a lui $f.$

• Inversa derivatei lui f(x) prezintă și ea interes, deoarece este folosită pentru a arăta convexitatea transformării Legendre.

Fie $z=f^{\prime }(x),$ presupunând că $f^{″}(x)\ne 0$:

$\frac{d(f^{\prime }{)}^{-1}(z)}{dz}=\frac{1}{f^{″}(x)}$

Asta poate fi prezentată cu notația precedentă $y=f(x).$ Atunci:

$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}=\frac{dy}{dz}{f}^{″}(x)\Rightarrow \frac{dy}{dz}=\frac{f^{\prime }(x)}{f^{″}(x)}$

Prin urmare:

$\frac{d(f^{\prime }{)}^{-1}(z)}{dz}=\frac{dx}{dz}=\frac{dy}{dz}\frac{dx}{dy}=\frac{f^{\prime }(x)}{f^{″}(x)}\frac{1}{f^{\prime }(x)}=\frac{1}{f^{″}(x)}$

Se poate generaliza acest rezultat prin inducție pentru orice număr întreg $n\ge 1,$ cu $z=f^{(n)}(x)$ a n-a derivată a lui $f(x),$ iar cu $y=f^{(n-1)}(x),$ presupunând că $f^{(i)}(x)\ne 0$ pentru $0<i\le n+1$:

$\frac{d(f^{(n)}{)}^{-1}(z)}{dz}=\frac{1}{f^{(n+1)}(x)}$

Derivate superioare

Regula derivării funcțiilor compuse de mai sus se obține prin derivarea identității $f^{-1}(f(x))=x$ în funcție de Format:Mvar Se poate continua același proces pentru derivatele superioare. Derivând identitatea de două ori în funcție de Format:Mvar se obține

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot \frac{dx}{dy}+\frac{d}{dx}\left(\frac{dx}{dy}\right)\cdot \left(\frac{dy}{dx}\right)=0$

care în continuare se simplifică la

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot \frac{dx}{dy}+\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=0$

Înlocuind derivata întâi, folosind identitatea obținută mai devreme, se obține

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3$

Similar, pentru derivata de ordinul al treilea:

$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=-\frac{d^{3}x}{d{y}^3}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^4-3\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot \frac{d^{2}y}{d{x}^2}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2$

sau, folosind formula pentru derivata de ordinul al doilea,

$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=-\frac{d^{3}x}{d{y}^3}\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^4+3{\left(\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\right)}^2\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^5$

Aceste formule sunt generalizate la formula lui Faà di Bruno.

Aceste formule pot fi scrise și folosind notația lui Lagrange. Dacă Format:Mvar și Format:Mvar sunt inverse, atunci

$g^{″}(x)=\frac{-f^{″}(g(x))}{[f^{\prime }(g(x)){]}^3}$

Exemplu

• $y=e^x$ are inversa $x=\ln y$. Folosind formula pentru derivata de ordinul al doilea a funcției inverse,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=e^x=y;{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3=y^3$

prin urmare,

$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}\cdot y^3+y=0;\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{1}{y^2}$

care corespunde cu calculul direct.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book

Vezi și

• Funcție inversă
• Derivarea funcțiilor compuse
• Derivarea unui produs
• Identitățile calculului vectorial