Ideal minimal

În matematică, mai exact în Format:Ill-wd, un ideal minimal al unui inel R este un ideal bilateral nenul care nu conține niciun alt ideal bilateral nenul. De asemenea, un ideal minimal stâng este un ideal stâng nenul al lui R care nu conține alte ideale stângi nenule ale lui R, iar un ideal minimal drept al lui R este un ideal nenul care nu conține alte ideale drepte nenule ale lui R.

Definiție

Definiția unui ideal minimal drept N al unui inel R este echivalentă cu următoarele condiții:

• N este nenul și dacă K este un ideal drept al lui R cu Format:Math, atunci fie Format:Math fie Format:Math.
• N este un R-Format:Ill-wd drept.

Idealele minimale drepte/stângi/bilaterale sunt noțiunea duală a idealelor maximale.

Proprietăți

Multe proprietăți ale idealelor minimale pot fi găsite în texte standard, cum ar fi:

• Într-un inel cu unitate există întotdeauna ideale maximale drepte. Prin contrast, într-un inel cu unitate nu trebuie să existe ideale minimale drepte, stângi sau bilaterale.
• Soclul unui inel $\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{c}(R_R)$ este o structură importantă definită în termenii idealelor drepte minimale ale lui R.
• Inelele pentru care fiecare ideal drept conține un ideal drept minimal sunt chiar inelele cu un soclu drept esențial.
• Orice inel artinian drept sau inel Kasch drept are un ideal minimal drept.
• Domeniile care nu sunt corpuri nu au ideale minimale drepte.
• În inelele cu unitate, idealele drepte minimale sunt în mod necesar ideale principale drepte, deoarece pentru orice x nenul dintr-un ideal minimal drept N, mulțimea xR este un ideal drept nenul al lui R în interiorul lui N, deci Format:Mvar.
• Lema lui Brauer: Orice ideal minimal drept N dintr-un inel R satisface Format:Math} sau Format:Mvar pentru un Format:Ill-wd e din R.
• Dacă N₁ și N₂ sunt ideale minimale drepte neizomorfe ale lui R, atunci produsul Format:Math
• Dacă N₁ și N₂ sunt idealuri minimale distincte ale unui inel R, atunci Format:Math
• Un inel simplu cu un ideal minimal drept este un inel semisimplu.
• Într-un inel semiprim există un ideal minimal drept dacă și numai dacă există un ideal minimal stâng.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation

Legături externe

• Format:En icon Minimal ideal