Element prim

În matematică, în special în algebra abstractă, un element prim al unui inel comutativ este un obiect care satisface anumite proprietăți asemănătoare cu cele ale numerelor prime din numerele întregi și ale Format:Ill-wd. Elementele prime se disting de elementele ireductibile, un concept care este același în inelele factoriale, dar nu același în general.

Definiție

Un element Format:Mvar al unui inel comutativ Format:Mvar se spune că este prim dacă nu este elementul zero sau o Format:Ill-wd și ori de câte ori Format:Mvar divide Format:Mvar pentru unele Format:Mvar și Format:Mvar în Format:Mvar, atunci Format:Mvar divide Format:Mvar sau Format:Mvar divide Format:Mvar. Cu această definiție, Format:Ill-wd este afirmația că numerele prime sunt elemente prime în inelul numerelor întregi, Format:Math. Echivalent, un element Format:Mvar este prim dacă și numai dacă idealul principal Format:Mvar generat de Format:Mvar este un ideal prim., rezultatul fiind valabil în general. (De reținut că într-un domeniu de integritate, idealul Format:Math este un ideal prim, dar Format:Math este o excepție în definiția elementului prim.)

Interesul pentru elementele prime vine din teorema fundamentală a aritmeticii, care afirmă că orice număr întreg diferit de zero poate fi scris în esență doar într-un singur mod ca 1 sau −1 înmulțit cu un produs al numerelor prime pozitive. Acest lucru a condus la studiul inelelor factoriale, care generalizează afirmația din numerele întregi.

A fi prim depinde de inelul în care este considerat un element; de exemplu, 2 este un element prim în Format:Math, dar nu este prim în Format:Math, inelul Format:Ill-wd, deoarece Format:Math și 2 nu divide pe niciunul dintre factorii din dreapta.

Conexiunea cu idealele prime

Un ideal Format:Mvar din inelul (cu unitate) Format:Mvar este prim dacă inelul factor Format:Mvar este un domeniu de integritate.

Într-un domeniu de integritate, un ideal principal diferit de zero este prim dacă și numai dacă este generat de un element prim.

Elemente ireductibile

Elementele prime nu trebuie confundate cu elementele ireductibile. Într-un domeniu de integritate orice element prim este ireductibil, dar reciproca nu este adevărată în general. Totuși, în inelele factoriale, elementele prime și cele ireductibile sunt aceleași.

Exemple

Următoarele sunt exemple de elemente prime din inele:

• numerele întregi Format:Math, Format:Math, Format:Math, Format:Math, Format:Math, ... în inelul numerelor întregi Format:Math;
• numerele complexe Format:Math, Format:Math și Format:Math în inelul numerelor întregi gaussiene Format:Math;
• polinoamele Format:Math și Format:Math din Format:Math, în Format:Ill-wd din Format:Math;
• 2 în inelul cât Format:Math;
• Format:Math este prim, dar nu și ireductibil în inelul Format:Math;
• în inelul perechilor de întregi Format:Math, Format:Math este prim, dar nu și ireductibil (există Format:Math);
• în inelul numerelor întregi algebrice $𝐙[\sqrt{-5}],$ elementul Format:Math este ireductibil, dar nu și prim (deoarece 3 divide pe $9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}),$ dar nu divide niciunul din factorii din dreapta).

Bibliografie

• Format:En icon Section III.3 of Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation