Produs Khatri–Rao

În matematică produsul Khatri–Rao al matricilor este definit drept

$𝐀\ast 𝐁={({𝐀}_{ij}\otimes {𝐁}_{ij})}_{ij}$

în care al Format:Mvar-lea bloc este produsul Kronecker Format:Math al blocurilor corespunzătoare din Format:Math și Format:Math, presupunând că numărul partițiilor pe linii și coloane ale ambelor matrici este egal . Mărimea produsului este atunci Format:Math.

De exemplu, dacă ambele Format:Math și Format:Math sunt partiționate Format:Math:

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}{𝐀}_{11}& {𝐀}_{12}\\ {𝐀}_{21}& {𝐀}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right],𝐁=\left[\begin{array}{cc}{𝐁}_{11}& {𝐁}_{12}\\ {𝐁}_{21}& {𝐁}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right],$

se obține:

$𝐀\ast 𝐁=\left[\begin{array}{cc}{𝐀}_{11}\otimes {𝐁}_{11}& {𝐀}_{12}\otimes {𝐁}_{12}\\ {𝐀}_{21}\otimes {𝐁}_{21}& {𝐀}_{22}\otimes {𝐁}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 12& 21\\ 4& 5& 24& 42\\ 14& 16& 45& 72\\ 21& 24& 54& 81\end{array}\right].$

Aceasta este o submatrice a produsului Tracy–Singh dintre cele două matrici (fiecare partiție din acest exemplu este o partiție într-un colț al produsului Tracy–Singh) și poate fi numită și produsul Kronecker pe blocuri.

Produsul cu divizarea feței

Produs cu divizarea feței matricilor

Un concept alternativ al produsului matricial, care utilizează divizarea pe linii a matricilor cu un anumit număr de linii a fost propus de Vadim Sliusar în 1996.

Această operație matricială a fost numită „produsul cu divizarea feței” al matricilor sau "produsul Khatri–Rao transpus". Acest tip de operație se bazează pe produse Kronecker linie cu linie din două matrici. Folosind matricile din exemplele anterioare partiționate pe linii:

$𝐂=\left[\begin{array}{c}{𝐂}_1\\ {𝐂}_2\\ {𝐂}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right],𝐃=\left[\begin{array}{c}{𝐃}_1\\ {𝐃}_2\\ {𝐃}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right],$

rezultatul este:

$𝐂\bullet 𝐃=\left[\begin{array}{c}{𝐂}_1\otimes {𝐃}_1\\ {𝐂}_2\otimes {𝐃}_2\\ {𝐂}_3\otimes {𝐃}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 4& 7& 2& 8& 14& 3& 12& 21\\ 8& 20& 32& 10& 25& 40& 12& 30& 48\\ 21& 42& 63& 24& 48& 72& 27& 54& 81\end{array}\right].$

Principalele proprietăți

Exemple

$\begin{array}{cc}& (\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right])(\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right])(\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1& 0\\ 0& {\sigma }_2\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}{\rho }_1& 0\\ 0& {\rho }_2\end{array}\right])(\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right])\\ =& (\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right])(\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1& 0\\ 0& {\sigma }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\rho }_1& 0\\ 0& {\rho }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right])\\ =& \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1& 0\\ 0& {\sigma }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\circ \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\rho }_1& 0\\ 0& {\rho }_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right].\end{array}$

Aplicații

Produsul cu divizarea feței este utilizat în teoria matricei-tensor a matricei de antene digitale. Aceste operațiuni sunt utilizate și în:

• Sisteme de inteligență artificială și învățare automată pentru minimizarea operatiilor de convoluție,
• Modele populare de prelucrare a limbajului natural și modele hipergraf de similitudine,
• Aproximarea datelor cu funcții Format:Ill-wd,
• Modelul liniar generalizat matricial în statistică,
• Alte prelucrări statistice, cum ar fi studiile interacțiunilor în mediul genotip X.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation

Vezi și

• Produs Kronecker
• Produs Hadamard