Interior (topologie)

Punctul Format:Mvar este un punct interior al Format:Mvar; punctul Format:Mvar este pe frontiera lui Format:Mvar

În matematică, În matematică, în special în topologie, interiorul unei submulțimi Format:Mvar a unui spațiu topologic Format:Mvar este reuniunea tuturor submulțimilor lui Format:Mvar care sunt deschise în Format:Mvar. Un punct care se află în interiorul lui Format:Mvar este un punct interior al lui Format:Mvar.

Interiorul lui Format:Mvar este complementul (absolut) al închiderii complementului lui Format:Mvar. În acest sens interiorul și închiderea sunt noțiuni duale.

Exteriorul unei mulțimi Format:Mvar este complementul închiderii lui Format:Mvar; el este format din punctele care nu sunt în Format:Mvar, nici în interiorul său, nici pe frontiera sa.

Interiorul, frontiera și exteriorul unei submulțimi împart împreună întregul spațiu în trei zone (sau mai puțin atunci când una sau mai multe dintre acestea sunt vide). Interiorul și exteriorul sunt întotdeauna deschise, în timp ce frobtiera este întotdeauna închisă. Mulțimile cu interior vid au fost numite mulțimi de frontieră.

Definiții

Punct din interior

Dacă Format:Mvar este o submulțime a unui spațiu euclidian, atunci Format:Mvar este un punct interior al lui Format:Mvar dacă există o bilă deschisă cu centrul în Format:Mvar care este complet inclusă în Format:Mvar. (Acest lucru este ilustrat în imaginea din introducerea acestui articol.)

Această definiție se generalizează la orice submulțime Format:Mvar a unui spațiu metric Format:Mvar cu metrică Format:Mvar: Format:Mvar este un punct interior al lui Format:Mvar dacă există $r>0$ astfel încât Format:Mvar este inclus în Format:Mvar ori de câte ori distanța Format:Math.

Această definiție se generalizează în spațiile topologice prin înlocuirea „bilei deschise” cu „mulțime deschisă”. Fie Format:Mvar o submulțime a unui spațiu topologic Format:Mvar. Atunci Format:Mvar este un punct interior al lui Format:Mvar dacă Format:Mvar este inclus într-o submulțime deschisă a lui Format:Mvar care este complet inclus în Format:Mvar. (În mod echivalent, Format:Mvar este un punct interior al lui Format:Mvar dacă Format:Mvar este o vecinătate a lui Format:Mvar.)

Interiorul unei mulțimi

Interiorul unei submulțimi Format:Mvar a unui spațiu topologic Format:Mvar, notat cu Format:Math sau cu Format:Math poate fi definit în oricare dintre următoarele moduri echivalente:

1. Format:Math este cea mai mare submulțime deschisă a Format:Mvar inclusă (ca submulțime) în Format:Mvar;
2. Format:Math este reuniunea tuturor mulțimilor deschise din Format:Mvar incluse în Format:Mvar;
3. Format:Math este mulțimea tuturor punctelor din interiorul lui Format:Mvar.

Exemple

Format:Mvar este un punct din interiorul lui Format:Mvar deoarece există o ε-vecinătate care este o submulțime a Format:Mvar.

• În orice spațiu, interiorul mulțimii vide este mulțimea vidă.
• În orice spațiu Format:Mvar, facă Format:Math, atunci Format:Math.
• Dacă Format:Mvar este spațiul euclidian Format:Math al numerelor reale, atunci Format:Math.
• Dacă Format:Mvar este spațiul euclidian Format:Math, atunci interiorul mulțimii Format:Math al numerelor raționale este vid.
• Dacă Format:Mvar este planul complex $ℂ={ℝ}^2$, atunci $\mathrm{int}(\{z\in ℂ:|z|\le 1\})=\{z\in ℂ:|z|<1\}.$
• În orice spațiu euclidian interiorul oricărei mulțimi finite este mulțimea vidă.

Pe mulțimea numerelor reale se pot pune mai degrabă alte topologii decât cea standard.

• Dacă Format:Math, unde Format:Math are Format:Ill-wd, atunci int([0, 1]) = [0, 1).
• Dacă se consideră pe Format:Math topologia în care fiecare mulțime este una deschisă, atunci Format:Math.
• Dacă se consideră pe Format:Math topologia în care fiecare mulțime este una vidă, inclusiv Format:Math însăși, atunci Format:Math este mulțimea vidă.

Aceste exemple arată că interiorul unei mulțimi depinde de topologia spațiului subiacent. Ultimele două exemple sunt cazuri particulare ale următoarelor.

• În orice spațiu discret, deoarece fiecare mulțime este deschisă, fiecare mulțime este egală cu interiorul său.
• În orice spațiu nediscret Format:Mvar, deoarece singurele mulțimi deschise sunt mulțimea vidă și Format:Mvar însăși, avem Format:Math și pentru orice submulțime proprie Format:Mvar a lui Format:Mvar, Format:Math este mulțimea vidă.

Proprietăți

Fie Format:Mvar un spațiu topologic și Format:Mvar și Format:Mvar submulțimi ale lui Format:Mvar.

• Format:Math este deschis în Format:Mvar.
• Dacă Format:Mvar este deschisă în Format:Mvar atunci Format:Math dacă și numai dacă Format:Math.
• Format:Math este o submulțime deschisă a Format:Mvar când Format:Mvar este dată de topologia de subspațiu.
• Format:Mvar este o submulțime deschisă a Format:Mvar dacă și numai dacă Format:Math.
• Intensivă: Format:Math.
• Idempotentă: Format:Math.
• Conservă distributivitatea intersecției binare: Format:Math.
• Monotonă / nedescrescătoare în raport cu Format:Math: Dacă Format:Math atunci Format:Math.

Afirmațiile de mai sus vor rămâne adevărate dacă toate aparițiile simbolurilor / cuvintelor

"interior", "Int", "deschisă", "submulțime" și "cea mai mare"

sunt înlocuite respectiv cu

"închidere", "Cl", "închisă", "supermulțime" și "cea mai mică"

Iar următoarele simboluri sunt întoarse:

1. "⊆" devine "⊇"
2. "∪" devine "∩"

Alte proprietăți:

• Dacă Format:Mvar este închisă în Format:Mvar și Format:Math atunci Format:Math.Format:Sfn

Operatorul „interior”

Operatorul „interior”' ^o este dualul operatorului „închidere” ^—, în sensul că

$S^{\circ }=X\mathrm{\setminus }\overline{(X\mathrm{\setminus }S)}$,

și

$\overline{S}=X\mathrm{\setminus }(X\mathrm{\setminus }S{)}^{\circ }$,

unde Format:Mvar este spațiul topologic care include Format:Mvar, iar bara oblică inversă se referă la complementul relativ (diferența lor).

Prin urmare, teoria abstractă a operatorilor de închidere și axiomele de închidere Kuratowski pot fi ușor transpuse în limbjul operatorilor „interior”, prin înlocuirea mulțimilor cu complementele lor.

În general operatorul „interior” nu este comutativ pe reuniuni. Totuși, într-un spațiu metric complet următorul rezultat este valabil:

Fie Format:Mvar un spațiu metric complet și fie $S_1,S_2,\dots$ in șir de submulțimi ale Format:Mvar.

• Dacă orice Format:Math este închisă în Format:Mvar atunci $\mathrm{cl}(\bigcup _{i\in \mathbb{N}}\mathrm{int}{S}_i)=\mathrm{cl}\mathrm{int}\left(\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{S}_i\right)$.
• Dacă orice Format:Math este deschisă în Format:Mvar atunci $\mathrm{int}(\bigcap _{i\in \mathbb{N}}\mathrm{cl}{S}_i)=\mathrm{int}\mathrm{cl}\left(\bigcap _{i\in \mathbb{N}}{S}_i\right)$.

Forme interior-disjuncte

Formele roșii nu sunt interior-disjuncte de triunghiul albastru; cele verzi și galbene sunt interior-disjuncte de triunghiul albastru, dar numai cea galbenă este complet disjunctă de triunghiul albastru

Două forme Format:Mvar și Format:Mvar se spune că sunt interior-disjuncte dacă intersecția interioarelor lor este vidă. Formele interior-disjuncte se pot intersecta sau nu pe frontierele lor.

Exteriorul unei mulțimi

Exteriorul unei submulțimi Format:Mvar a unui spațiu topologic Format:Mvar, notat Format:Math sau Format:Math este interiorul Format:Math complementului său relativ. Alternativ, poate fi definit ca Format:Math, complementul închiderii lui Format:Mvar. Multe proprietăți rezultă direct din cele ale operatorului „interior”, cum ar fi următoarele.

• Format:Math este o mulțime deschisă disjunctă de Format:Mvar.
• Format:Math este reuniunea tuturor mulțimilor deschise disjuncte de Format:Mvar.
• Format:Math este cea mai mare mulțime deschisă disjunctă de Format:Mvar.
• Dacă Format:Math, atunci Format:Math este o supermulțime a Format:Math.

Diferit de operatorul „interior”, operatorul „exterior” nu este idempotent, dar este valabilă afirmația:

• Format:Math este o supermulțime a Format:Math.

Bibliografie

• Format:En icon Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
• Format:En icon Dixmier, Jacques (1984). General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
• Format:En icon Császár, Ákos (1978). General topology. Translated by Császár, Klára. Bristol England: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011.
• Format:En icon Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
• Format:En icon Joshi, K. D. (1983). Introduction to General Topology. New York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750.
• Format:En icon Kelley, John L. (1975). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. 27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047.
• Format:En icon Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
• Format:En icon Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Format:En icon Schubert, Horst (1968). Topology. London: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753.
• Format:En icon Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Dover Books on Mathematics (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

Legături externe

• Format:PlanetMath