Grup Lie

În matematică, un grup Lie (pronunțat Format:IPAc-en) este un grup care este și Format:Ill-wd, cu proprietatea că operația de grup și simetrica ei sunt diferențiabile. Grupurile Lie sunt numite astfel în cinstea matematicianului norvegian Sophus Lie, care a pus bazele teoriei grupurilor de transformare continue.

În linii mari, un grup Lie este un grup continuu, adică unul ale cărui elemente sunt descrise de mai mulți parametri reali. Astfel, grupurile Lie oferă un model natural pentru conceptul de simetrie continuă, cum ar fi simetria de rotație tridimensională. Grupurile Lie sunt utilizate pe scară largă în multe părți ale matematicii și fizicii moderne. Motivația inițială a lui Lie pentru introducerea acestor grupuri era de a modela simetriile continue ale ecuațiilor diferențiale, în același mod în care grupurile finite sunt folosite în teoria lui Galois pentru a modela simetriile discrete ale ecuațiilor algebrice.

Vedere generală

Mulțimea tuturor numerelor complexe de modul 1 (corespunzătoare punctelor de pe cercul cu centrul în origine și rază 1 în planul complex) este un grup Lie în raport cu înmulțirea complexă: Format:Ill-wd.

Grupurile Lie sunt Format:Ill-wd [[Smoothness|de clasă Format:Math]] și, ca atare, pot fi studiate folosind calculul diferențial, spre deosebire de Format:Ill-wd mai generale. Una dintre ideile cheie din teoria grupurilor Lie este aceea de a înlocui obiectul global, grupul, cu versiunea sa locală sau liniarizată, pe care Lie îl numește „grup infinitezimal” și care de atunci a devenit cunoscut sub numele de Format:Ill-wd a acestuia.

Grupurile Lie joacă un rol enorm în geometria modernă, pe mai multe niveluri diferite. Felix Klein susținea în Format:Ill-wd că se pot lua în considerare diverse „geometrii” prin specificarea unui grup de transformare adecvat care lasă anumite proprietăți geometrice Format:Ill-wd. Astfel, geometria euclidiană corespunde cu alegerea grupului Format:Ill-wd al transformărilor de conservare la distanță a spațiului Euclidian ${ℝ}^3$, Format:Ill-wd corespunde lărgirii grupului la Format:Ill-wd, în timp ce în geometria proiectivă interesul îl constituie proprietățile invariabile în raport cu Format:Ill-wd. Această idee a dus mai târziu la noțiunea de Format:Ill-wd, unde G este un grup Lie al simetriilor „locale” ale unei varietăți.

Grupurile Lie (și algebrele lor Lie asociate) joacă un rol major în fizica modernă, grupul Lie având de obicei rolul unei simetrii a unui sistem fizic. Aici sunt deosebit de importante Format:Ill-wd grupului Lie (sau Format:Ill-wd ale acestora). Teoria reprezentării Format:Ill-wd. Printre grupurile ale căror reprezentări au o importanță deosebită se numără Format:Ill-wd (sau Format:Ill-wd), Format:Ill-wd și Format:Ill-wd.

La nivel „global”, oricând un grup Lie Format:Ill-wd asupra unui obiect geometric, cum ar fi o Format:Ill-wd sau simplectică, această acțiune furnizează o măsură a rigidității și produce o structură algebrică bogată. Prezența simetriilor continue exprimate prin Format:Ill-wd asupra unei varietăți produce constrângeri puternice asupra geometriei sale și facilitează Format:Ill-wd varietății. Acțiunile liniare asupra grupurilor Lie sunt deosebit de importante, și sunt studiate în teoria reprezentării.

În anii 1940–1950, Format:Ill-wd, Format:Ill-wd, și Claude Chevalley și-au dat seama că multe rezultate fundamentale referitoare la grupurile Lie pot fi dezvoltate complet algebric, dând naștere la teoria Format:Ill-wd definite pe un corp arbitrar. Această perspectivă a deschis noi posibilități în algebra pură, oferind o construcție uniformă pentru cele mai multe Format:Ill-wd, precum și în geometria algebrică. Teoria Format:Ill-wd, o ramură importantă a teoriei numerelor moderne, se ocupă în mare măsură de analoagele grupurilor Lie în Format:Ill-wd; grupurile Lie Format:Ill-wd joacă un rol important, prin intermediul conexiunilor lor cu reprezentările Galois din teoria numerelor.

Definiții și exemple

Un grup Lie real este un grup care este și o varietate reală, în care operațiile de grup de multiplicare și găsire a simetricului sunt aplicații netede. Această ultimă proprietate a multiplicării grupului

$\mu :G\to G\mu (x,y)=xy$

înseamnă că Format:Math este o aplicație netedă, definită pe varietatea produsului cartezian Format:Math cu valori în Format:Math. Aceste două cerințe pot fi combinate cu unica cerință ca aplicația

$(x,y)\mapsto x^{-1}y$

să fie o aplicație netedă definită pe varietatea produs cartezian cu valori în Format:Math.

Primele exemple

• Matricele inversabile reale 2 × 2 formează un grup în raport cu înmulțirea, notat cu Format:Nowrap sau cu Format:Math:

$\mathrm{GL}(2,𝐑)=\{A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):\det A=ad-bc\ne 0\}.$

Acesta este un grup tetradimensional, real, necompact, Lie; este o submulțime deschisă a lui ${ℝ}^4$. Acest grup este neconex; are două componente conexe care corespund valorilor pozitive și negative ale determinantului.

• Matricele de rotație formează un subgrup al lui Format:Math, notat cu Format:Math. El este în sine un grup Lie în sine: anume, un grup compact, unidimensional, conex, care este difeomorf cucercul. Folosind unghiul de rotație Format:Math ca parametru, acest grup poate fi parametrizat după cum urmează:

$\mathrm{SO}(2,𝐑)=\{\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right):\phi \in 𝐑/2\pi 𝐙\}.$

Adunarea unghiurilor corespunde multiplicării elementelor din Format:Math, iar găsirea unghiului invers corespunde operației de găsire a simetricului. Astfel, atât înmulțirea, cât și găsirea simetricului sunt aplicații diferențiabile.

• Format:Ill-wd este un grup Lie de matrice bidimensionale, constând din matrice reale, superior triunghiulare, de dimensiune Format:Math, primul element de pe diagonală fiind pozitiv, iar cel de-al doilea fiind 1. Astfel, grupul constă din matrici de forma

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right),a>0,b\in ℝ.$

Exemplu de grup care nu este un grup Lie

Urmează un exemplu de grup cu un număr nenumărabil de elemente care nu este un grup Lie în cadrul unei anumite topologii. Grupul dat de

$H=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{2\pi i\theta }& 0\\ 0& e^{2\pi ia\theta }\end{array}\right)|\theta \in ℝ\}\subset {𝕋}^2=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{2\pi i\theta }& 0\\ 0& e^{2\pi i\varphi }\end{array}\right)|\theta ,\varphi \in ℝ\},$$H=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{2\pi i\theta }& 0\\ 0& e^{2\pi ia\theta }\end{array}\right)|\theta \in ℝ\}\subset {𝕋}^2=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{2\pi i\theta }& 0\\ 0& e^{2\pi i\varphi }\end{array}\right)|\theta ,\varphi \in ℝ\},$

cu $a\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$ un număr irațional fix, este un subgrup al torului ${𝕋}^2$ care nu este un grup Lie atunci când primește Format:Ill-wd. Dacă luăm orice vecinătate mică Format:Math a unui punct Format:Math din Format:Math, de exemplu, porțiunea de Format:Math din Format:Math este neconexă. Grupul Format:Math se înfășoară repetat în jurul torului și formează un subgrup dens al lui ${𝕋}^2$.

O porțiune a grupului Format:Math înăuntrul lui ${𝕋}^2$. Mici vecinătăți ale elementului $h\in H$sunt neconexe în topologia de submulțime pe Format:Math

Grupul Format:Math poate, totuși, să primească o topologie diferită, în care distanța dintre două puncte $h_1,h_2\in H$este definită ca lungimea celei mai scurte căi în grupul H care leagă Format:Math de Format:Math. În această topologie, Format:Math este identificat homeomorf cu dreapta reală prin identificarea fiecărui element cu numărul Format:Math din definiția lui Format:Math. Cu această topologie, Format:Math este doar grupul numerelor reale în raport cu acunarea și este, prin urmare, un grup Lie.

Grupul Format:Math este un exemplu de „subgrup Lie” al unui grup Lie care nu este închis.

Grupuri Lie matriciale

Fie Format:Nowrap denota grupul matricelor Format:Nowrap inversabile cu elemente din C. Orice subgrup închis al lui Format:Nowrap este un grup Lie; Grupurile Lie de acest fel se numesc grupuri Lie matriciale. Deoarece cele mai multe dintre exemplele interesante ale grupurilor Lie pot fi realizate ca grupuri Lie matriciale, unele manuale se concentrează doar asupra acestei clase, inclusiv a cărțile lui Hall și Rossmann. Restricționarea atenției asupra grupurile Lie matriciale simplifică definirea algebrei Lie și a aplicației exponențiale. Următoarele sunt exemple standard de grupuri Lie matriciale.

• Format:Ill-wd peste R și C, Format:Nowrap și Format:Nowrap constând din matrice Format:Nowrap cu determinantul 1 și elemente din R sau C
• Format:Ill-wd și grupurile unitare speciale, U(n) și SU(n), constând din matrice Format:Nowrap complexe care satisfac Format:Math (și Format:Math în cazul SU(n))
• Grupurile ortogonale și grupurile ortogonale speciale, O(n) și SO(n), constând din matrice Format:Nowrap reale care satisfac Format:Math (și Format:Math în cazul SO(n))

Toate exemplele precedente se încadrează în categoria Format:Ill-wd.

Concepte înrudite

Un grup Lie complex este definit în același mod folosind Format:Ill-wd în locul celor reale (exemplu: Format:Nowrap) și, similar, folosind o completare metrică alternativă a lui Q, se poate defini un grup p-adic Lie peste Format:Ill-wd, un grup topologic în care fiecare punct are o vecinătate p-adică. Format:Ill-wd a pus întrebarea dacă înlocuirea varietăților diferențiabile cu cele topologice sau analitice poate da noi exemple. Răspunsul la această întrebare s-a dovedit a fi negativ: în 1952, Format:Ill-wd, Format:Ill-wd și Format:Ill-wd au arătat că dacă Format:Math este o varietate topologică cu operații continue de grup, atunci există o structură analitică exactă pe Format:Math, care o transformă într-un grup Lie. Dacă mulțimii de bază i se permite să fie infinit dimensională (de exemplu, o Format:Ill-wd), atunci se ajunge la noțiunea de grup neliniar infinit-dimensional. Este posibil să se definească analoage ale multor Format:Ill-wd și acestea oferă cele mai multe exemple de Format:Ill-wd.

Limbajul teoriei categoriilor oferă o definiție concisă pentru grupurile Lie: un grup Lie este un Format:Ill-wd în categoria Format:Ill-wd de clasă Format:Math. Acest lucru este important, deoarece permite generalizarea noțiunii de grup Lie la Format:Ill-wd.

Definiție topologică

Un grup Lie poate fi definit ca grup topologic (Hausdorff) care, în apropierea elementului neutru, arată ca un grup de transformare, fără a se face referire la varietăți diferențiate. În primul rând, se definește un grup imers liniar Lie, care este un subgrup G al grupului liniar general $GL(n,ℂ)$ astfel încât

1. pentru o anumită vecinătate Format:Math a elementului neutru Format:Math din Format:Math, topologia pe Format:Math este topologia de subspațiu a lui $GL(n,ℂ)$și Format:Math este închisă în $GL(n,ℂ)$.
2. Format:Math are cel mult multe un număr numărabil de componente conexe.

(De exemplu, un subgrup închis al lui $GL(n,ℂ)$; adică, un grup Lie matricial satisface condițiile de mai sus. )

Atunci, un grup Lie este definit ca un grup topologic care (1) este izomorf la nivel local în apropierea elementului neutru cu un grup Lie imers liniar și (2) are cel mult un număr numărabil de componente conexe. Demonstrarea că definiția topologică este echivalentă cu cea uzuală este complexă.

Bibliografie

• Format:Citation.
• Format:Citation
• Format:Citation. Capitolele 1–3 Format:Isbn, Capitolele 4–6 Format:Isbn, Capitolele 7–9 Format:Isbn
• Format:Cite book
• Format:Citation.
• Format:Ill-wd (1957) Lie Groups, Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
• Format:Ill-wd (1940) A History of Geometrical Methods, pp 304–17, Oxford University Press (Format:Ill-wd 2003).
• Format:Fulton-Harris
• Robert Gilmore (2008) Lie groups, physics, and geometry: an introduction for physicists, engineers and chemists, Cambridge University Press Format:Isbn Format:Doi.
• Format:Citation.
• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Format:Ill-wd, Format:Isbn.
• Format:Citation Borel's review
• Format:Citation
• Format:Citation.
• T. Kobayashi and T. Oshima, Lie groups and Lie algebras I, Iwanami, 1999 (in Japanese)
• Format:Cite journal
• Format:Citation. The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.
• Format:Cite book
• Format:Citation.
• Format:Cite book
• Heldermann Verlag Journal of Lie Theory
• Format:Citation
• Format:Citation.
• Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010