Hiperboloid

Hiperboloid cu o pânză

Suprafață conică

Hiperboloid cu două pânze

În matematică, printr-un hiperboloid se înțelege o cuadrică, un anumit fel de suprafață tridimensională, descrisă de ecuația:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

(Hiperboloid cu o pânză),

respectiv

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$

(Hiperboloid cu două pânze).

Ambele aceste suprafețe sunt asimptotice la aceeași suprafață conică, pe măsură ce x ori y cresc,

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

Astfel de suprafețe se numesc hiperboloizi eliptici. Dacă și numai dacă a = b, atunci un hiperboloid eliptic devine un hiperboloid de revoluție.

Coordonate carteziene

Animație prezentând un hiperboloid de revoluție

Coordonatele carteziene pentru hiperboloizi pot fi definite similar coordonatelor sferice, menținând azimutul unghiului $\theta \in [0,2\pi )$, dar schimbând elevația v în funcțiile hiperbolice.

Hiperboloidul cu o suprafață, $v\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ devine:

$x=a\cosh v\cos \theta$

$y=b\cosh v\sin \theta$

$z=c\sinh v$

Iar hiperboloidul a două suprafețe, $v\in [0,\mathrm{\infty })$ devine:

$x=a\sinh v\cos \theta$

$y=b\sinh v\sin \theta$

$z=\pm c\cosh v$

Ecuații generalizate

Generalizat, un hiperboloid arbitrar, centrat în v, este definit de ecuația:

$(𝐱\mathbf{-}𝐯{)}^{\mathrm{T}}A(𝐱\mathbf{-}𝐯)=1,$

în care A este o matrice, iar x și v sunt vectori euclidieni.

Structuri hiperboloidale

Fișier:Vyksa Shukhov tower.ogv

Bibliografie

• Format:De icon Wilhelm Blaschke (1948) Analytische Geometrie,Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
• Format:En icon David A. Brannan, M. F. Esplen, & Jeremy J Gray (1999) Geometry, pages 39–41 Cambridge University Press.
• Format:En icon H.S.M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, page 130, John Wiley & Sons.

Vezi și

• Coordonate eliptice
• Elipsă
• Elipsoid
• Hiperbolă
• Viteză unghiulară medie reală

Legături externe

• Format:Commonscat-inline
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Format:MathWorld