Formă biliniară

Fie Format:Mvar un spațiu vectorial peste un corp comutativ Format:Mvar. Se numește formă biliniară pe spațiul vectorial Format:Mvar o aplicație $g : V \times V \to K$ liniară în ambele argumente, adică care satisface condițiile:

$g (α x + β y, z) = α g (x, z) + β g (y, z);$
$g (x, α y + β z) = α g (x, y) + β g (x, z);$

pentru orice $\forall x, y, z \in V$ și orice $α, β \in K .$

Mulțimea formelor biliniare definite pe spațiul vectorial Format:Mvar, prevăzută cu operațiile de adunare și înmulțire a funcțiilor, formează un spațiu vectorial peste Format:Mvar numit spațiul dual.

Exemple

Un exemplu important de aplicație biliniară este produsul scalar canonic pe $ℝ^{n},$ adică aplicația $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : ℝ^{n} \times ℝ^{n} \to ℝ$ definită prin: pentru orice $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ și $y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}),$

⟨ x, y ⟩ = x_{1} y_{2} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n} .

Mai general, orice produs scalar este o formă biliniară: de fapt, un produs scalar abstract real este, prin definiție, orice formă biliniară simetrică pozitiv-definită nedegenerată (a se vedea mai jos).

Reprezentare matricială

Fie $V_{n}$ un spațiu vectorial Format:Mvar-dimensional și $B = {e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ o bază a lui $V_{n}$ . Fie Format:Mvar și Format:Mvar doi vectori oarecare $x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i}$ și $y = \sum_{i = 1}^{n} y_{i} e_{i} .$ Atunci, expresia formei biliniare Format:Mvar est dată de:

g (x, y) = g (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i}, y) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} g (e_{i}, y)

= \sum_{i = 1}^{n} x_{i} g (e_{i}, \sum_{j = 1}^{n} y_{j} e_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{i} g (e_{i}, e_{j}) y_{j}

= \sum_{1 \leq i, j \leq n} a_{i j} x_{i} y_{j},

unde s-a notat: $a_{i j} = g (e_{i}, e_{j}) .$

Proprietăți

O formă biliniară $g : V \times V \to K$ se numește:

simetrică dacă $\forall x, y \in V, g (x, y) = g (y, x) .$
antisimetrică dacă $\forall x, y \in V, g (x, y) = - g (y, x) .$
definită dacă $g (x, x) = 0 ⟹ x = 0 .$

Dacă corpul comutativ Format:Mvar este complet ordonat — adică dacă există o relație de ordine totală $\leq$ pe Format:Mvar — atunci $g$ se numește:

pozitivă dacă $\forall x \in V, g (x, x) \geq 0$ .

Vezi și

Legături externe

Formă biliniară

Cuprins

Exemple

Reprezentare matricială

Proprietăți

Vezi și

Legături externe

Meniu de navigare

Formă biliniară

Exemple

Reprezentare matricială

Proprietăți

Vezi și

Legături externe

Meniu de navigare

Căutare