Triunghi ortic

Triunghiul ortic este triunghiul determinat de picioarele înălțimilor unui triunghi oarecare.

Proprietăți ale triunghiului ortic

Unghiurile triunghiului ortic sunt egale cu:

∠ C^{'} = ∠ A^{'} C^{'} B^{'} = ∠ C C^{'} A^{'} + ∠ C C^{'} B^{'} = ∠ C A A^{'} + ∠ C B B^{'} = π - 2 C

∠ B^{'} = ∠ A^{'} B^{'} C^{'} = ∠ B B^{'} A^{'} + ∠ B B^{'} C^{'} = ∠ B A A^{'} + ∠ B C C^{'} = π - 2 B

∠ A^{'} = ∠ B^{'} A^{'} C^{'} = ∠ A A^{'} B^{'} + ∠ A A^{'} C^{'} = ∠ A B B^{'} + ∠ A C C^{'} = π - 2 A

Demonstrație: $A B A^{'} B^{'}$ este patrulater inscriptibil, deci $∠ C A^{'} B^{'} = ∠ A .$ La fel se procedează și pentru celelalte unghiuri.

Dacă se notează $A A^{'} = h_{a}, B B^{'} = h_{b}, C C^{'} = h_{c}$ laturile triunghiului ortic sunt egale cu:

A^{'} B^{'} = c . c o s C

,

B^{'} C^{'} = a . c o s A

,

A^{'} C^{'} = b . c o s B

Demonstrație În Δ CB'A' se folosește teorema sinusurilor:

\frac{C A^{'}}{s i n B} = \frac{A^{'} B^{'}}{s i n C} (1)

În triunghiul dreptunghic AA'C: $c o s C = \frac{C A^{'}}{A C}$

\to C A^{'} = A C c o s C = b c o s C (2)

Din (1) și (2):

A^{'} B^{'}

=

\frac{C A^{'} s i n C}{s i n B}

=

\frac{A C c o s C s i n C}{s i n B}

=

\frac{b s i n C c o s C}{s i n B}

=

(2 R s i n C) c o s C

=

c . c o s C

Analog, se obțin și celelalte relații.

Notând:

R - raza cercului circumscris triunghiului ABC;

R* - raza cercului circumscris triunghiului ortic A'B'C'.

și aplicând teorema sinusurilor acestui triunghi, se obține:

2 R^{*} = \frac{A^{'} B^{'}}{s i n C^{'}} = \frac{c . c o s C}{s i n (π - 2 C)} = \frac{c . c o s C}{s i n 2 C} = \frac{c . c o s C}{2 s i n C c o s C}

=

\frac{c}{2 s i n C} = R

Prin urmare:

R^{*}

=

\frac{R}{2}