Mediană

Medianele și centrul de greutate al triunghiului.

Mediana într-un triunghi este segmentul (ceviană) determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse acestuia. Există trei mediane corespunzătoare celor trei laturi ale triunghiului. Acestea se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.

Proprietăți

Concurența medianelor într-un triunghi

Toate cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente într-un punct G numit centru de greutate al acestuia. Centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana.

Împărțirea egală a ariilor

Ca o consecință imediată a proprietății anterioare, rezultă că fiecare mediană împarte triunghiul în alte două triunghiuri de arii egale (echivalente). Toate cele trei mediane împart triunghiul în 6 triunghiuri mai mici având arii egale.

Demonstrație directă

În figura alăturată se observă că $DF$ este linia mijlocie a triunghiului :$ABC$, opusă laturii $BC$. Prin urmare, este paralelă cu $BC$ și are lungimea egală cu $\frac{BC}{2}$.

Deoarece BC || DF rezultă egalitatea unghiurilor:

$OCB=ODF$

și

$OBC=OFD$

fiind alterne interne. Prin urmare, triunghiurile $\mathrm{\Delta }OBC$ și $\mathrm{\Delta }OFD$ sunt asemenea. Rezultă că

$\frac{OF}{OB}$=$\frac{OD}{OC}$=$\frac{FD}{BC}$=$\frac{1}{2}$

Demonstrație prin teorema lui Ceva

Deoarece:

$\frac{AF}{FC}$ = $\frac{CE}{EB}$ = $\frac{BD}{DA}$ = 1, rezultă că și :$\frac{AF}{FC}$ . $\frac{CE}{EB}$ . $\frac{BD}{DA}$=1. Deci, conform teoremei reciproce pentru teorema lui Ceva medianele sunt concurente.

Lungimea medianei

Folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei corespunzătoare laturii a este egală cu:

$m_a=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}$.

Alte proprietăți

• Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are o lungime egală cu jumătate din cea a ipotenuzei.
• Medianele unui triunghi dreptunghic având ipotenuza c satisfac proprietatea $m_a^2+m_b^2=5m_c^2.$
• Medianele corespunzătoare laturilor a și b sunt perpendiculare dacă și numai dacă $a^2+b^2=5c^2.$

• Între lungimile laturilor unui triunghi și lungimile medianelor există relația:

$\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=m_a^2+m_b^2+m_c^2.$

• Se poate exprima aria unui triunghi, T, în funcție de lungimile medianelor m_a, m_b și m_c și semisuma lungimilor medianelor Format:Nowrap notată σ, când se obține:

$T=\frac{4}{3}\sqrt{\sigma (\sigma -m_a)(\sigma -m_b)(\sigma -m_c)}.$

Vezi și

• triunghi;
• bisectoarele;
• înălțime (geometrie);
• mediatoare;
• linia mijlocie