Lege de compoziție

Lege de compoziție

În mod frecvent se vorbește despre operații matematice pe anumite mulțimi. De exemplu, operația de scădere a numerelor întregi este un procedeu prin care perechii de numere întregi $(x,y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ i se asociază numărul întreg $x-y\in \mathbb{Z}$. Este important să se considere perechea sau mulțimea ordonată (x,y) și nu mulțimea {x,y}, deoarece contează ordinea în care apar x și y. De exemplu, perechiii (y,x) îi corespunde prin această operație numărul $y-x\in \mathbb{Z}$, care în general diferă de x-y.

Generalizând, fie M o mulțime nevidă. Se numește lege de compoziție internă (sau operație algebrică) pe mulțimea M orice funcție definită pe M × M cu valori în M:

$\begin{array}{cccc}*:& M\times M& ⟶& M\\ & (x,y)& ⟼& z=x*y\end{array}$

care asociază fiecărei perechi $(x,y)\in M\times M$ un element unic $x*y\in M$. Elementul $x*y\in M$ se citește x compus cu y.

O operație algebrică poate fi notată prin mai multe simboluri, de exemplu: $+,-,\times ,\oplus ,\circ ,⨀,\cap ,\cup ,\mathrm{\Delta }$ etc.

Exemple de operații algebrice

• Adunarea pe mulțimea $\mathbb{N}$:

$\begin{array}{cccc}+:& \mathbb{N}\times \mathbb{N}& ⟶& \mathbb{N}\\ & (x,y)& ⟼& z=x+y\end{array}$

• Scăderea pe mulțimea $\mathbb{Z}$:

$\begin{array}{cccc}-:& \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{Z}\\ & (x,y)& ⟼& z=x-y\end{array}$

• Înmulțirea pe mulțimea $ℝ$:

$\begin{array}{cccc}\circ :& ℝ\times ℝ& ⟶& ℝ\\ & (x,y)& ⟼& z=x\circ y\end{array}$

• Adunarea pe mulțimea de matrici ${ℳ}_n(ℂ)$:

$\begin{array}{cccc}+:& {ℳ}_n(ℂ)\times {ℳ}_n(ℂ)& ⟶& {ℳ}_n(ℂ)\\ & (X,Y)& ⟼& Z=X+Y\end{array}$

Părți stabile față de operația *

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Prin definiție, o submulțime nevidă $𝐻\subseteq 𝑀$ se numește parte stabilă (închisă) a lui M față de operația * dacă:

$\mathrm{\forall }𝑥,𝑦\in 𝐻\Rightarrow 𝑥*𝑦\in 𝐻$

În acest caz restricția operației * la submulțimea H, adică funcția $\circ :𝐻\times 𝐻\to 𝐻,(𝑥,𝑦)\mapsto 𝑥\circ 𝑦$ se numește operație pe H indusă de operația * de pe M.

Cele două operații pe M și pe H au fost notate diferit deoarece ele nu sunt egale ca funcții.

Exemple de părți stabile

• Submulțimea $\mathbb{Z}$ este o parte stabilă a lui $ℝ$ față de adunare, deci putem spune că adunarea pe $\mathbb{Z}$ este indusă de adunare de pe $ℝ$.
• Submulțimea $ℍ=\{1,-1,i,-i\}$ este parte a lui $ℂ$ stabilă față de înmulțire deoarece produsele elementelor din H se mențin tot în H.

Proprietățile unei operații

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Spunem că:

1° Operația * este asociativă dacă $(x*y)*z=x*(y*z),\mathrm{\forall }x,y,z\in M$.

2° Operația * este comutativă dacă $x*y=y*x,\mathrm{\forall }x,y\in M$

3° Operația * are elementul neutru e dacă $\mathrm{\exists }e\in M$ astfel încât $x*e=e*x=x,\mathrm{\forall }x\in M$.

4° Dacă operația * are elementul neutru $e\in M$, spunem că un element $x\in M$ este simetrizabil față de operația * dacă $\mathrm{\exists }{x}^{\prime }\in M$ astfel încât $x*x^{\prime }=x^{\prime }*x=e$ (x′ se numește simetricul lui x).

Tabla Cayley

Ea este un tabel cu $n$ linii și $n$ coloane, unde $n=cardM$, liniile și coloanele fiind etichetate fiecare cu câte unul din cele $n$ elemente ale lui $M$.

Tabla Cayley a operației * conține la intersecția liniei de etichetă $x$ cu coloana de etichetă $y$, elementul $x*y$. 

Fie $a_1,a_2,...,a_n$ cele n elemente ale mulțimii $M$, atunci forma standard a tablei Cayley este:

Tabla Cayley

$*$	$a_1$	...	$a_j$	...	$a_n$
$a_1$
...
$a_i$			$a_i*a_j$
...
$a_n$

Tabla Cayley asociată perechii $(M,*)$ permite vizualizarea operației * și testarea rapidă a unor proprietăți pe care le verifică operația *. Dacă forma standard a perechii $(M,*)$ este dată de tabla de mai sus, atunci matricea $A=(a_{i}j)$ , unde $a_{i}j=a_i*a_j$,$\mathrm{\forall }i,j\in N$ și se numește matricea asociată perechii .$(M,*)$ Comutativitatea unei operații algebrice definită pe o mulțime finită se poate testa imediat examinând tabla sa Cayley: comutativitate ce înseamnă $a_i*a_j=a_j*a_i$,pentru orice i,j.Adică tabla sa Cayley este simetrică față de diagonala principală.

Comentarii și exemple

1° În notația aditivă (+) elementul neutru se notează cu 0 și se numește element nul, iar simetricul unui element x se notează cu -x și se numește opusul lui x. De exemplu, adunarea pe mulțimea $\mathbb{Z}$ este asociativă, comutativă și are elementul neutru 0, iar orice element $x\in \mathbb{Z}$ este simetrizabil față de adunare,având simetricul -x.

2° În notația multiplicativă elementul neutru este notat cu 1 sau cu e și se numește element unitate, iar simetricul unui element x se notează cu x^-1 sau cu $\frac{1}{x}$ și se numește inversul lui x. Elementul x care are element invers se numește element inversabil. De exemplu, înmulțirea pe mulțimea $\mathbb{Z}$ este asociativă, comutativă și are elementul neutru 1, dar singurele elemente simetrizabile în $\mathbb{Z}$ față de înmulțire sunt 1 cu simetricul 1 și -1 cu simetricul -1, celelalte elemente nu sunt simetrizabile deoarece simetricele lor nu aparțin mulțimii $\mathbb{Z}$. Înmulțirea pe $ℝ$\{0} este asociativă, comutativă, are elementul neutru 1 și toate elementele sunt simetrizabile, deoarece toate elementele sunt inversabile, iar inversele lor aparțin lui $ℝ$.

Propoziție

Fie o mulțime nevidă M și o operație * pe M. Atunci:

1° Dacă operația * are elementul neutru $e\in M$, acesta este unic determinat.

2° Dacă operația * este asociativă și are elementul neutru e, iar $x\in M$, este un element simetrizabil, atunci simetricul $x^{\prime }\in M$, al lui x este unic determinat.

Demonstrație

1° Dacă $e^{\prime }\in M$ ar fi un alt element neutru , atunci $e*e^{\prime }=e$, deoarece $e^{\prime }$ este element neutru, dar și $e*e^{\prime }=e^{\prime }$, deoarece $e$ este element neutru, prin urmare $e=e^{\prime }$.

2° Dacă $x^{\prime \prime }$ ar fi un alt simetric al elementului $x\in M$, atunci, ținând seama că $x*x^{\prime \prime }=e$ și $x*x^{\prime }=e$ avem: $x^{\prime }=x^{\prime }*e=x^{\prime }*(x*x^{\prime \prime })=(x^{\prime }*x)*x^{\prime \prime }=e*x^{\prime \prime }=x^{\prime \prime }$, deci $x^{\prime }=x^{\prime \prime }$.

Bibliografie

Cărți

• Format:Citat carte

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

• Format:Citat carte

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

• Format:Citat carte

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

Articole

• http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Format:Webarchive Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

• Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4

Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

Resurse online

• Krowne, Aaron, Format:PlanetMath, Accessed 8 august 2007.

Definition of commutativity and examples of commutative operations

• Format:MathWorld, Accessed 8 august 2007.

Explanation of the term commute

• Yark. Format:PlanetMath, Accessed 8 august 2007

Examples proving some noncommutative operations

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 august 2007

Article giving the history of the real numbers

• Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 22 November 2008

Page covering the earliest uses of mathematical terms

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois Format:Webarchive, Accessed 8 august 2007

Biography of Francois Servois, who first used the term

Vezi și

• Asociativitate
• Comutativitate
• Element neutru