Element conjugat

Format:Note de subsol2 Format:Deznotă În matematică, în special în teoria corpurilor, elementul conjugat al unui element algebric α, pe o extindere de corp L/K, sunt rădăcinile unui polinom minimal p_K,α(x) în α pe K. Elementele conjugate mai sunt cunoscute drept conjugate Galois, sau, simplu conjugate. Normal, α însuși este cuprins în mulțimea conjugatelor lui α.

Exemplu

Rădăcinile cubice ale unității sunt:

$\sqrt[3]{1}=\{\begin{array}{c}1\\ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}$

Ultimele două rădăcini sunt elemente conjugate în Format:Math cu polinomul minimal

${(x+\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}=x^2+x+1.$

Proprietăți

Dacă K este dat într-un corp algebric închis C, atunci conjugatele pot fi luate în interiorul C. Dacă nu este specificat un astfel de C, se pot lua conjugatele într-un corp relativ mic L. Cea mai mică alegere posibilă pentru L este să se ia un Format:Ill-wd peste K de p _K,α, care conține  α. Dacă L este orice extindere normală a lui K care conține  α, atunci prin definiție conține deja un astfel de corp de descompunere.

Fiind dată o extindere normală L a lui K, cu grupul de automorfisme Aut(L/K) = G, și conținând pe α, orice element g(α) pentru g din G va fi un conjugat al α, deoarece automorfismul g trimite rădăcinile lui p la rădăcinile lui p. În schimb, orice conjugat β al lui α este de această formă: cu alte cuvinte, G Format:Ill-wd tranzitiv asupra conjugatelor. Aceasta rezultă din faptul că K(α) este K-izomorf cu K(β) datorită ireductibilității polinomului minimal, iar orice izomorfism al corpurilor F și FFormat:' care aplică polinomul p pe pFormat:' poate fi extins la un izomorfism al corpului de descompunere al p peste F, respectiv al pFormat:' peste FFormat:'.

În rezumat, în orice extindere normală L a lui K care conține K(α), elementele conjugate ale α se găsesc ca elemente g(α) în Aut(L/K). Numărul de repetări din lista respectivă a fiecărui element este gradul separabil [L:K(α)]_sep.

O teoremă a lui Leopold Kronecker afirmă că, dacă α este un întreg algebric nenul astfel încât α și toți conjugații săi din numerele complexe au valoarea absolută cel mult 1, atunci α este o rădăcină a unității. Există forme cantitative ale acestui lucru, afirmând mai precis limite (în funcție de grad) la cea mai mare valoare absolută a unui conjugat care implică faptul că un număr întreg algebric este o rădăcină a unității.

Bibliografie

• Format:En icon David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.

Legături externe

• Format:En icon Format:MathWorld