Transformare conformă specială

Format:Imagine multiplă În Format:Ill-wd o transformare conformă specială este o Format:Ill-wd care nu este o Format:Ill-wd. Astfel, generarea unei transformări conforme speciale implică utilizarea inversului multiplicativ, care este generatorul de transformări liniare fracționare care nu sunt afine.

În fizica matematică, anumite transformări conforme, cunoscute sub denumirea de Format:Ill-wd sunt transformări conforme speciale.

Prezentare vectorială

O transformare conformă specială poate fi scrisă

$x{\text{'}}^{\mu }=\frac{x^{\mu }-b^{\mu }{x}^2}{1-2b\cdot x+b^2{x}^2}=\frac{x^2}{|x-b{x}^2{|}^2}(x^{\mu }-b^{\mu }{x}^2).$

Este o compunere a unei inversiuni (x^μ → x^μ/x² = y^μ), a unei translații (y^μ → y^μ − b^μ = z^μ), și altei inversiuni (z^μ → z^μ/z² = x′ ^μ) astfel încât:

$\frac{x{\text{'}}^{\mu }}{x{\text{'}}^2}=\frac{x^{\mu }}{x^2}-b^{\mu }.$

Generatorul său infinitezimal este

$K_{\mu }=-i(2x_{\mu }{x}^{\nu }{\partial }_{\nu }-x^2{\partial }_{\mu }).$

Prezentare alternativă

Inversiunea poate fi considerată și inversa multiplicativă a unor Format:Ill-wd B. Algebra complexă B poate fi extinsă la P(B) prin Format:Ill-wd. Format:Ill-wd peste P(B) conțin translații:

$U(q,1)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ t& 1\end{array}\right)=U(q+t,1).$

Grupul de omografie G(B) conține Format:Ill-wd ale translațiilor prin inversare:

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ t& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right).$

Matricea descrie acțiunea unei transformări conforme speciale.