Teorema lui Gergonne

Teorema lui Gergonne este o teoremă din geometria afină care indică o corelație între raporturile în care trei drepte concurente taie laturile unui triunghi.

Poartă numele matematicianului Joseph Gergonne.

Teoremă. Dacă A, B, C sunt trei puncte necoliniare într-un plan afin, iar A', B, C trei puncte aparținând respectiv dreptelor (BC), (CA) și (AB) astfel încât dreptele (AA' ), (BB' ) și (CC' ) să fie concurente într-un punct M, atunci:

$\frac{\overline{A^{\prime }M}}{A^{\prime }A}+\frac{\overline{B^{\prime }M}}{B^{\prime }B}+\frac{\overline{C^{\prime }M}}{C^{\prime }C}=1.$

Demonstrație. Fie a, b, c coordonatele baricentrice ale punctului M în reperul afin (A, B, C), deci cu proprietatea:

$a+b+c=1.$

Atunci coordonata baricentrică a punctului M este: $M=aA+bB+cC.$

Se va ține seama că: $\frac{\overline{A^{\prime }M}}{\overline{A^{\prime }A}}=a$ $\frac{\overline{B^{\prime }M}}{\overline{B^{\prime }B}}=b$ $\frac{\overline{C^{\prime }M}}{\overline{C^{\prime }C}}=c.$

Vezi și

• Punctul lui Gergonne