Teorema fundamentală a calculului integral

Teorema fundamentală a calculului integral specifică relația dintre cele două operații de bază ale calculului integral, derivarea și integrarea.

Prima parte a teoremei, numită uneori prima teoremă fundamentală a calculului integral, arată că o integrală nedefinită poate fi inversată prin derivare.

Partea a doua, uneori numită a doua teoremă fundamentală a calculului integral, permite calcularea integralei definite a unei funcții folosind oricare din infinit de multele primitive ale acesteia. Această parte din teoremă simplifică calculul integralelor definite.

Prima formulare și demonstrație publicată a unei versiuni restrânse a acestei teoreme a fost dată de James Gregory (1638-1675). Isaac Newton (1643–1727) și Gottfried Leibniz (1646–1716) au dezvoltat independent unul de altul forma finală a teoremei.

Intuitiv

Intuitiv, teorema afirmă doar că suma unor variații infinitezimale ale unei cantități în timp constituie variația netă a acelei cantități.

Pentru a înțelege această afirmație, vom da un exemplu. Să presupunem că o particulă se deplasează în linie dreaptă cu poziția dată de x(t) unde t este timpul. Derivata acestei funcții este egală cu variația infinitezimală a poziției, dx, pentru o variație infinitezimală a timpului, dt (bineînțeles, derivata însăși depinde de timp). Să definim această variație a distanței pe variația de timp ca viteza v a particulei. În notația lui Leibniz:

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v(t).$

Rearanjând această ecuație, rezultă că:

$\mathrm{d}x=v(t)\mathrm{d}t.$

Prin logica de mai sus, o variație a lui x, notată $\mathrm{\Delta }x$, este suma modificărilor infinitezimale dx. Ea este egală și cu suma produselor infinitezimale ale derivatei și timpului. Această adunare infinită se numește integrare; deci, operația de integare permite recuperarea funcției originale din derivata ei. De aici se poate deduce că această operație funcționează și invers, derivând rezultatul integralei pentru a obține derivata originală.

Enunțuri

Teorema fundamentală a calculului integral are două părți. Prima parte se ocupă de derivata unei primitive, iar a doua parte se ocupă de relația dintre primitivă și integrala definită.

Prima parte

Această parte este numită uneori Prima teoremă fundamentală a calculului integral.

Fie f o funcție continuă cu valori reale definită pe un interval închis [a, b]. Fie F funcția definită, pentru fiecare x din [a, b], prin

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

Atunci, oricare ar fi x din [a, b],

$F^{\prime }(x)=f(x)$.

Operația $\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)$ este o integrală definită cu limită superioară variabilă, și rezultatul său F(x) este una din infinit de multele primitive ale lui f.

Partea a doua

Această parte este uneori numită A doua teoremă fundamentală a calculului integral.

Fie f o funcție continuă cu valori reale definită pe un interval închis [a, b]. Fie F o primitivă a lui f, adică una din infinit de multele funcții cu proprietatea că, oricare ar fi x din [a, b],

$f(x)=F^{\prime }(x)$.

Atunci:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$

Acest rezultat este cunoscut sub denumirea de formula Leibniz-Newton.

Corolar

Fie f o funcție cu valori reale definită pe un interval închis [a, b]. Fie F o funcție astfel încât, oricare ar fi x din [a, b],

$f(x)=F^{\prime }(x)$

Atunci, oricare ar fi x din [a, b],

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+F(a)$

și

$f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

Exemple

De exemplu, să presupunem că trebuie să se calculeze

$\underset{2}{\overset{5}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x.$

Aici, $f(x)=x^2$ și putem folosi $F(x)=\frac{x^3}{3}$ ca primitivă. Deci:

$\underset{2}{\overset{5}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x=F(5)-F(2)=\frac{125}{3}-\frac{8}{3}=\frac{117}{3}=39.$

Sau, mai general, să presupunem că trebuie să se calculeze

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^3\mathrm{d}t.$

Aici, $f(t)=t^3$ și putem folosi $F(t)=\frac{t^4}{4}$ ca primitivă. Astfel:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^3\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(0)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{x^4}{4}=x^3.$

Dar acest rezultat putea fi găsit mult mai ușor ca

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^3\mathrm{d}t=f(x)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}-f(0)\frac{\mathrm{d}0}{\mathrm{d}x}=x^3.$

Demonstrație

Să presupunem că

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.$

Fie două numere x₁ și x₁ + Δx din [a, b]. Deci avem

$F(x_1)=\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

și

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)=\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.$

Scăzând cele două ecuații

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)=\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t-\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.(1)$

Se poate arăta că

$\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.$

(Suma ariilor a două regiuni adiacente este egală cu aria combinată a ambelor regiuni combinate.)

Manipularea acestei ecuații produce

$\underset{a}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t-\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.$

Înlocuind aceasta de mai sus în (1) rezultă

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)=\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.(2)$

Conform cu teorema valorii medii pentru integrare, există un c din [x₁, x₁ + Δx] astfel încât

$\underset{x_1}{\overset{x_1+\mathrm{\Delta }x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=f(c)\mathrm{\Delta }x$.

Înlocuind aceasta în (2) obținem

$F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)=f(c)\mathrm{\Delta }x$.

Împărțind ambele părți la un Δx obținem

$\frac{F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)}{\mathrm{\Delta }x}=f(c).$

Mergând la limită când Δx → 0 în ambele părți ale ecuației,

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{F(x_1+\mathrm{\Delta }x)-F(x_1)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }f(c).$

Expresia din partea stângă a ecuației este definiția derivatei lui F în x₁.

$F^{\prime }(x_1)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }f(c).(3)$

Pentru a găsi cealaltă limită, vom folosi teorema cleștelui. Numărul c este din intervalul [x₁, x₁ + Δx], astfel că x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx.

De asemenea, $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{x}_1=x_1$ and $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{x}_1+\mathrm{\Delta }x=x_1$.

Deci, conform teoremei cleștelui,

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }c=x_1.$

Înlocuind în (3), rezultă

$F^{\prime }(x_1)=\underset{c\to x_1}{\lim }f(c).$

Funcția f este continuă în c, deci limita poate fi introdusă în cadrul funcției. Deci rezultă

$F^{\prime }(x_1)=f(x_1)$.

ceea ce încheie demonstrația.

(Leithold et al, 1996)

Bibliografie

• Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
• Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
• Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
• Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
• Format:Citat carte
• Format:Citat carte.
• Format:Citat carte
• Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)