Teorema cleștelui

În analiza matematică, Criteriul majorării furnizează o condiție suficientă privind convergența unui șir.

Enunț

Fie (a_n), (b_n), (x_n) trei șiruri cu proprietățile:

• $a_n\le x_n\le b_n,\mathrm{\forall }n\ge n_0;$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=a.$

Atunci șirul (x_n) este convergent și are limita a.

Demonstrație

Fie ε>0, ales arbitrar. Cum $a_n\to a,b_n\to a,$ va exista un rang $n_{ϵ}\ge n_0$ astfel încât:

$\mathrm{\forall }n\ge n_{ϵ}$ să fie îndeplinite condițiile: $|a_n-a|<ϵ$ și $|b_n-a|<ϵ.$

Din condițiile de mai sus avem: $-ϵ<a_n-a<ϵ$ și $-ϵ<b_n-a<ϵ$.

De aici:

$\mathrm{\forall }n\ge n_{ϵ},-ϵ<a_n-a\le x_n-a\le b_n-a<ϵ,$

ceea ce arată că:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a.$

Exemplificare

Cu ajutorul criteriului majorării se poate calcula limita seriei:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}),k\in \mathbb{N}.$

Rezolvare

Se notează:

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}$

Se observă că:

$\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}(deknori)\le a_n\le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}(deknori)⟺$

$⟺\frac{kn}{n^2+kn}\le a_n\le \frac{kn}{n^2+1},\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}$

(1)

Deoarece:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{kn}{\sqrt{n^2+kn}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{kn}{n\sqrt{1+\frac{k}{n}}},$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{k}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}=k$   și   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{kn}{\sqrt{n^1+1}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{k}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=k.$

Prin urmare:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{kn}{\sqrt{n^2+kn}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{kn}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=k$

(2)

Din (1) și (2), aplicând criteriul majorării, rezultă:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=k.$