Teorema creșterilor finite

Teorema creșterilor finite (cunoscută și sub numele de prima teoremă a mediei) se referă la o proprietate remarcabilă a funcțiilor reale derivabile definite pe un interval.

Teorema îi este atribuită matematicianului francez Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

Enunț

Fie $I\subset ℝ$ un interval, funcția $f:I\to ℝ$ și $a,b\in I$ cu $a<b$. Dacă:

• $f$ este continuă pe intervalul închis [a,b],
• $f$ este derivabilă pe intervalul deschis (a,b),

atunci există $c\in (a,b)$ astfel încât: $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$ (formula lui Lagrange sau formula creșterilor finite)

Demonstrație

Aplicând teorema lui Cauchy (a doua teoremă a mediei) pentru $g(t)=t$ rezultă:

$(f(b)-f(a))g^{\prime }(c)=(g(b)-g(a))f^{\prime }(c)$

Dar $g^{\prime }(t)=1$, deci:

$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$.

Interpretare geometrică

Interpretare geometrică: pentru orice funcție f(x) continuă pe [a, b] și derivabilă pe (a, b) există un număr real c din intervalul (a, b) astfel încât secanta ce unește capetele intervalului [a, b] să fie paralelă cu tangenta în c la graficul funcției f.

O interpretare geometrică a teoremei creșterilor finite poate fi dată cu ajutorul graficului unei funcții f(x) continue pe intervalul [a, b] și derivabile pe (a, b). Conform acestei teoreme, există un număr real c din intervalul (a, b) astfel încât secanta ce unește capetele intervalului [a, b] să fie paralelă cu tangenta în c la graficul funcției f (a se vedea figura alăturată).

Consecințe ale teoremei creșterilor finite

Consecința 1

Fie $I\subset ℝ$ un interval. O funcție $f:I\to ℝ$ este constantă pe $I$ dacă și numai dacă are derivata nulă pe $I$.

Demonstrație

Necesitatea este evidentă.

Suficiența: Dacă $f$ are derivata nulă pe $I$ și $t_1,t_2\in I$ cu $t_1<t_2$ atunci din teorema lui Lagrange există $c\in (t_1,t_2)$ cu $f(t_2)-f(t_1)=f^{\prime }(c)(t_2-t_1)=0$ și deci $f(t_2)=f(t_1)$, adică $f$ este constantă pe $I$.

Consecința 2

Fie $I\subset ℝ$ un interval și $f,g:I\to ℝ$ derivabile pe $I$. Funcțiile $f$ și $g$ au aceași derivată pe $I$ dacă și numai dacă există $C\in ℝ$ cu $g(t)=f(t)+C$ pentru orice $t\in I$ (adică $f$ și $g$ diferă printr-o constantă).

Demonstrație

Funcțiile $f$ și $g$ au aceeași derivată pe $I$ dacă și numai dacă funcția derivabilă $h=g-f$ are derivată nulă pe $I$. Din Consecința 1 acest fapt are loc dacă și numai dacă $h$ este constantă, ceea ce implică afirmația din enunț.

Consecința 3

Fie $I\subset ℝ$ un interval $a,b\in ℝ$ cu $a<b$ și $f:I\to ℝ$ continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$. Atunci

i) $f$ este crescătoare pe $[a,b]$ dacă și numai dacă$f^{\prime }(t)\ge 0$, pentru orice $t\in (a,b)$;

ii) $f$ este descrescătoare pe $[a,b]$ dacă și numai dacă$f^{\prime }(t)\le 0$, pentru orice $t\in (a,b)$;

iii) $f$ este strict crescătoare pe $[a,b]$ dacă și numai dacă:

• $f^{\prime }(t)\ge 0$, pentru orice $t\in (a,b)$;

• mulțimea $\{t\in (a,b):f^{\prime }(t)>0\}$ este densă în $(a,b)$;

iv) $f$ este strict descrescătoare pe $[a,b]$ dacă și numai dacă:

• $f^{\prime }(t)\le 0$, pentru orice $t\in (a,b)$;

• mulțimea $\{t\in (a,b):f^{\prime }(t)<0\}$ este densă în $(a,b)$.

Demonstrație

i)Necesitatea

Dacă $f$ este crescătoare pe $[a,b]$ atunci pentru orice $t\in (a,b)$:

$f^{\prime }(t_0)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\ge 0$;

Suficiența

Dacă $f^{\prime }(t)\ge 0$ atunci pentru orice $t_1$ și $t_2\in [a,b]$ cu $t_1<t_2$ avem (din teorema lui Lagrange) că există $c\in (t_1,t_2)cuf(t_2)-f(t_1)=f^{\prime }(c)(t_2-t_1)\ge 0$ și deci $f(t_2)\ge f(t_1)$, adică $f$ este crescătoare pe $[a,b]$.

ii) rezultă din (i) aplicat pentru funcția descrescătoare $-f$.

iii) Necesitatea

Dacă $f$ este strict crescătoare pe $[a,b]$, atunci din (i) rezultă ca $f^{\prime }\ge 0$ pe are $(a,b)$.Dacă pe un anumit interval deschis $(a_0,b_0)\subset (a,b)$ am avea $f^{\prime }(t)=0$ pentru orice $t\in (a_0,b_0)$ atunci restricția funcției $f$ la $(a_0,b_0)$ ar fi constantă, ceea ce contrazice faptul că $f$ este strict crescătoare pe $[a,b]$.

Suficiența

Dacă sunt îndeplinite ambele condiții de la (iii) atunci $f$ este crescătoare pe $[a,b]$. Dacă $f$ nu ar fi strict crescătoare pe $[a,b]$, ar rezulta că există un interval $(a_0,b_0)\subset (a,b)$ astfel ca restricția funcției $f$ la $(a_0,b_0)$ este constantă, adică $f^{\prime }(t)=0$ pentru orice $t\in (a_0,b_0)$, ceea ce contrazice ipoteza a doua de la (iii).

iv) rezultă din (iii) aplicat pentru funcția $-f$.

Bibliografie

• Mihail Megan, Calcul diferențial și integral pe dreapta reală, Timișoara, 2010.
• Miron Nicolescu, Nicolae Dinculeanu, Solomon Marcus, Analiza matematică, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1971.