Teorema Stolz-Cesàro

În analiza matematică, teorema Stolz-Cesàro (numită și lema Stolz-Cesàro) este un criteriu pentru demonstrarea convergenței unui șir.

Enunț

Fie $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ și $(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ două șiruri de numere reale, astfel încât $(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ este strict crescător și $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=\mathrm{\infty }.$

Dacă există $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\in \overline{ℝ},$ atunci există și $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}$ și

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}.$

Demonstrație

Fie (x_n) un șir mărginit. Rezultă că există intervalul I₁ = [ a₁, b₁ ], care conține toți termenii săi. Împărțim intervalul I₁ în două părți: [ a₁, (a₁ + b₁) / 2 ] și [ (a₁ + b₁) / 2, b₁ ]. Cel puțin una din aceste părți va conține o infinitate de termeni ai șirului (a_n). Notăm acest interval I₂ = [ a₂, b₂ ]. Evident, avem a₁ ≤ a₂ ≤ b₂ ≤ b₁ și b₂ - a₂ = (b₁ - a₁) / 2. Împărțim intervalul I₂ în două părți, astfel: [ a₂, (a₂ + b₂) / 2 ] și [ (a₂ + b₂) / 2, b₂ ]. Notăm cu I₃ = [ a₃, b₃ ], una din părțile care conțin o infinitate de termeni ai șirului (a_n). Se obține astfel: a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ b₃ ≤ b₂ ≤ b₁ și b₃ - a₃ = (b₁ - a₁) / 4.
Continuând procedeul de împărțire pentru intervalele rezultate se obține șirul de intervale I_n = [ a_n, b_n ], n ≥ 1, astfel încât:

a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n ≤ a_n+1 ≤ ... ≤ b_n+1 ≤ b_n ≤ ... ≤ b₂ ≤ b₁ și b_n - a_n = (b₁ - a₁) / 2ⁿ, n ≥ 1.

Din teorema lui Weierstrass rezultă că șirurile (a_n) și (b_n) sunt convergente și $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=x$.
Deoarece în fiecare interval I₁, I₂, ..., I_n, ... se află un număr infinit de termeni ai șirului (a_n), alegem câte un termen din fiecare interval:

a _n1 din I₁, a _n2 din I₂, ..., a _nk din I_k, unde n₁ < n₂ < ... < n_k < ....

Rezultă că a_p ≤ a_np ≤ b_p, p din N*, relație din care se obține cu criteriul cleștelui: $\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n{)}_p=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_p=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_p=x$. Așadar, subșirul (a_np) este convergent.

Aplicații

$1)$ Să se determine: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}}{n}.$

Rezolvare. Notăm: $x_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}$ și $y_n=n.$

Avem:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}.$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}-\dots -\frac{1}{n}}{n+1-n}\Rightarrow$

$\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{1}{n+1}}{1}\Rightarrow$

$\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n+1}=0.$

$2)$ Să se determine $L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k}{n^{k+1}}.$

Se consideră $x_n=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k$ și $y_n=n^{k+1}$

Se ține seama că:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n+1{)}^k}{(n+1{)}^{k+1}-n^{k+1}}=\frac{1}{k+1},$

unde la numitor s-a efectuat descompunerea cu ajutorul binomului lui Newton.

Așadar, $L=\frac{1}{k+1}.$

Bibliografie

Marius Burtea, Georgeta Burtea, Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, M1, Ed. Carminic, Pitești.