Teorema Brunn-Minkowski

Format:Note de subsol2 În matematică, teorema Brunn–Minkowski  (sau inegalitatea Brunn–Minkowski) este o inegalitate referitoare la volumele (sau mai general măsuri Lebesgue ) de submulțimi compacte de spații Euclidiene. Versiunea originală a teoremei Brunn–Minkowski  (Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) aplicată la mulțimile convexe. Generalizarea la seturi neconvexe compacte i se datorează L. A. Lusternik (1935).

Formularea teoremei

Fie n ≥ 1 și fie ca μ să indice măsura Lebesgue pe Rⁿ. Fie A și B două submulțimi nevide compacte din Rⁿ. Atunci are loc inegalitatea:

$[\mu (A+B){]}^{1/n}\ge [\mu (A){]}^{1/n}+[\mu (B){]}^{1/n},$

unde A + B indică suma Minkowski:

$A+B:=\{a+b\in {ℝ}^n\mid a\in A,b\in B\}.$

Observație

Demonstrația teoremei Brunn–Minkowski stabilește că funcția 

$A\mapsto [\mu (A){]}^{1/n}$

este concavă în  sensul că pentru fiecare pereche nevidă de mulțimi compacte A și B din Rⁿ și fiecare 0 ≤ t ≤ 1,

${[\mu (tA+(1-t)B)]}^{1/n}\ge t[\mu (A){]}^{1/n}+(1-t)[\mu (B){]}^{1/n}.$

Pentru mulțimile convexe A și B inegalitatea din teoremă este strictă pentru 0 < t < 1 doar dacă A și B sunt omotetice, adică sunt egale până la translație și scalare.

Bibliografie

• Format:Citat revistă
• Format:Citat carte
• Format:Citat carte
• Format:Citat carte
• Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
• Format:Citat revistă
• Format:Citat carte
• Format:Citat știre
• Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.