Limită a unei funcții

În calculul diferențial și calculul integral un concept important este cel de limită a unei funcții.

Limita unei funcții într-un punct

Conceptul de limită a unei funcții într-un punct este folosit în studiul continuității, derivatei, integralei și alte studii.

Considerând o funcție $f:A\subset {ℝ}^1\to {ℝ}^1.$ se analizează comportamentul lui $f(x)$ atunci când x se apropie de o valoare reală fixată x_o. Pentru aceasta se presupune că f(x) este definită pentru orice x care se apropie de x_o. Cu alte cuvinte, se presupune că domeniul de definiție A conține o mulțime de forma $(x_0-r,x_0)\cup (x_0,x_0+r)$ unde $r>0.$

Definiție („definiția cu ε (epsilon) și δ (delta)”): Funcția f are limita l în punctul x_o dacă pentru orice $ϵ>0$ există un număr $\delta =\delta (ϵ)>0$ astfel ca $|f(x)-l|<ϵ,\mathrm{\forall }x\in A,x\ne x_0$ și $|x-x_0|<\delta .$

Faptul că funcția f are limita l în punctul x_o se notează:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$ sau $f(x)\to x\to x_{0}l.$

Definiție („definiția cu șiruri”): Se spune că funcția f are limita l (finită sau infinită) în punctul $x_0$ dacă pentru orice șir $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ convergent către $x_0(x_n\in E,x_n\ne x_0)$ șirul valorilor funcției $\{f(x_n){\}}_{n\in \mathbb{N}}$ este convergent către l.

Cazuri limită

Pentru cazul când unul sau amândouă numerele x_o și l nu sunt finite, există următoarele definiții: $1^{\circ }.\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }=l$   înseamnă: pentru orice $ϵ>0,$ există un $\delta (ϵ),$ astfel încât oricare ar fi $x\in E$ cu proprietatea $x>\delta (ϵ)$ să avem $|f(x)-l|<ϵ.$

$2^{\circ }.\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=l$   înseamnă: pentru orice $ϵ>0,$ există un $\delta (ϵ),$ astfel încât oricare ar fi $x\in E$ cu proprietatea $x<\delta (ϵ)$ să avem $|f(x)-l|<ϵ.$

$3^{\circ }.\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$   înseamnă: pentru orice $ϵ$ există un $\delta (ϵ)>0,$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,x\ne x_0$ cu proprietatea $|x-x_0|<\delta (ϵ)$ să avem $f(x)>ϵ.$

$4^{\circ }.\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$   înseamnă: pentru orice $ϵ$ există un $\delta (ϵ)>0,$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,x\ne x_0$ cu proprietatea $|x-x_0|<\delta (ϵ)$ să avem $f(x)<ϵ.$

$5^{\circ }.\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$   înseamnă: pentru orice $ϵ$ există un $\delta (ϵ),$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,$ cu proprietatea $x>\delta (ϵ)$ să avem $f(x)>ϵ.$

$6^{\circ }.\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$   înseamnă: pentru orice $ϵ$ există un $\delta (ϵ)>0,$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,$ cu proprietatea $|x-x_0|<\delta (ϵ)$ să avem $f(x)<ϵ.$

$7^{\circ }.\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$   înseamnă: pentru orice $ϵ$ există un $\delta (ϵ),$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,$ cu proprietatea $x<\delta (ϵ)$ să avem $f(x)>ϵ.$

$8^{\circ }.\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$   înseamnă: pentru orice $ϵ$ există un $\delta (ϵ),$ astfel încât oricare ar fi $x\in E,$ cu proprietatea $x<\delta (ϵ)$ să avem $f(x)<ϵ.$

Limite laterale ale unei funcții

Definiție: Se spune că funcția $f:E\subseteq ℝ\to ℝ$ are în punctul $x_o$ (punct de acumulare al mulțimii E) limita la stânga $l_s$, dacă pentru orice vecinătate U a lui $l_s$ există o vecinătate V a lui $x_o$, astfel încât, oricare ar fi $x<x_0,x\in V\cap E,$ să avem $f(x)\in U.$

Se notează:

$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)=f(x_0-0)=l_s.$

În mod similar se definește limita la dreapta și se notează:

$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x)=f(x_0+0)=l_d.$

Proprietăți

Teorema 1. Fie $f:E\subset ℝ\to ℝ$ o funcție și $x_0$ un punct de acumulare al lui E. Dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l,$ atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }|f(x)|=|l|.$

Teorema 2. (Criteriul majorării) Dacă f și g sunt definite pe E, dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=0$ și dacă există un număr finit l și o vecinătate V a lui $x_0$, astfel încât să fie valabilă inegalitatea $|f(x)-l|\le g(x),$ pentru orice $x\in V\cap E,x\ne x_0$ atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l.$

Limita unei funcții compuse

Fie funcțiile $u:E\subseteq ℝ\to F\subseteq ℝ;f:F\subseteq ℝ\to ℝ$ și funcția compusă:

$f\circ u:E\subseteq ℝ\to ℝ,(f\circ u)(x)=f(u(x))$

pentru $x\in E.$ Fie $x_0$ un punct de acumulare al lui E și $u_0$ un punct de acumulare al lui F.

Teoremă. Dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }u(x)=u_0$ și dacă $\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=l,$ atunci funcția compusă $f\circ u$ are limită în $x_0$ și

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(u(x))=\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=l.$

Bibliografie

• Constantin Ionescu-Țiu, Liviu Pârșan, Calcul diferențial și integral pentru admitere în facultate, Editura Albatros, București, 1975

Vezi și

• Funcție continuă
• Derivată
• Limită a unui șir