Puterea a opta

În aritmetică și algebră, puterea a opta a unui număr Format:Mvar este rezultatul înmulțirii de opt ori a lui Format:Mvar cu el însuși, adică:

$n^8=n\times n\times n\times n\times n\times n\times n\times n.$

Valoarea puterii a opta a unui număr se poate abține și prin înmulțirea numărului cu puterea a șaptea a sa, prin înmulțirea pătratului său cu puterea a șasea a sa, prin înmulțirea cubului său cu puterea a cincea a sa sau prin ridicarea la pătrat a puterii a patra a sa.

Șirul valorilor puterii a opta a numerelor naturale este:

0, 1, 256, 6561, 65536, 390625, 1679616, 5764801, 16777216, 43046721, 100000000, 214358881, 429981696, 815730721, 1475789056, 2562890625, 4294967296, 6975757441, 11019960576, 16983563041, 25600000000, 37822859361, 54875873536, 78310985281, 110075314176, ...

Algebră și teoria numerelor

Ecuațiile polinomiale de gradul al optulea au forma

$a{x}^8+b{x}^7+c{x}^6+d{x}^5+e{x}^4+f{x}^3+g{x}^2+hx+k=0.$

Cel mai mic număr la puterea a opta cunoscut care poate fi exprimat printr-o sumă de opt numere la puterea a opta este

$1409^8=1324^8+1190^8+1088^8+748^8+524^8+478^8+223^8+90^8.$

Suma inverselor puterilor a opta nenule este funcția zeta Riemann evaluată la 8, care poate fi exprimată în funcție de puterea a opta a lui $\pi$:

$\zeta (8)=\frac{1}{1^8}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{3^8}+\cdots =\frac{{\pi }^8}{9450}=1.00407\dots$

Acesta este un exemplu din expresia mai generală pentru evaluarea funcției zeta Riemann la numerele pare pozitive, în funcție de numerele Bernoulli:

$\zeta (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}.$