Puterea a șaptea
În aritmetică și algebră, puterea a șaptea a unui număr Format:Mvar este rezultatul înmulțirii de șapte ori a lui Format:Mvar cu el însuși, adică:
Valoarea puterii a șaptea a unui număr se poate abține și prin înmulțirea numărului cu puterea a șasea a sa, prin înmulțirea pătratului său cu puterea a cincea a sa, sau prin înmulțirea cubului său cu puterea a patra a sa.
Șirul valorilor puterii a șaptea a numerelor naturale este:[1]
- 0, 1, 128, 2187, 16384, 78125, 279936, 823543, 2097152, 4782969, 10000000, 19487171, 35831808, 62748517, 105413504, 170859375, 268435456, 410338673, 612220032, 893871739, 1280000000, 1801088541, 2494357888, 3404825447, 4586471424, 6103515625, 8031810176, ...
Proprietăți
Leonard Eugene Dickson a studiat generalizările problemei Waring pentru puterile a șaptea, arătând că fiecare număr întreg nenegativ poate fi reprezentat ca o sumă de cel mult 258 de numere la puterea a șaptea nenegative[2] (17 este 1, iar 27 este 128). Aproape toate numerele întregi pozitive pot fi exprimate ca suma a cel mult 46 de numere la puterea a șaptea.[3] Dacă sunt permise puteri negative, sunt necesari doar 12 termeni.[4]
Cel mai mic număr care poate fi reprezentat în două moduri diferite ca o sumă de patru termeni pozitivi la puterea a șaptea este 2056364173794800.[5]
Cel mai mic număr la puterea a șaptea care poate fi reprezentat ca o sumă de opt numere la puterea a șaptea este:[6]
Cele două exemple cunoscute ale unor numere la puterea a șaptea reprezentate printr-o sumă de șapte numere la puterea a șaptea sunt:[7]
- (M. Dodrill, 1999)
și
- (Maurice Blondot, 11/14/2000)
iar orice exemplu cu mai puțini termeni în sumă ar fi un contraexemplu la conjectura lui Euler, care în prezent se știe că este falsă doar pentru puterile 4 și 5.