Progresie armonică

Primii zece termeni ai progresiei armonice $a_n=\frac{1}{n}$

În matematică o progresie armonicăFormat:Efn este un șir ai cărui termeni sunt inversele termenilor unei progresii aritmetice.

Echivalent, un șir este o progresie armonică când fiecare termen (cu excepția capetelor) este media armonică a termenilor vecini. De aici vine și denumirea progresiei.

O a treia caracterizare echivalentă este un șir infinit de forma

$\frac{1}{a},\frac{1}{a+d},\frac{1}{a+2d},\frac{1}{a+3d},\cdots ,$

unde a este nenul iar −a/d nu este un număr natural sau un șir finit de forma

$\frac{1}{a},\frac{1}{a+d},\frac{1}{a+2d},\frac{1}{a+3d},\cdots ,\frac{1}{a+kd},$

unde a este nenul, k este un număr natural iar −a/d nu este un număr natural sau este mai mare decât k.

Exemple

• 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, uneori numit șirul armonic
• 12, 6, 4, 3, $\frac{12}{5}$, 2, … , $\frac{12}{n}$, …
• 30, −30, −10, −6, − $\frac{30}{7}$, … , $\frac{10}{1-\frac{2n}{3}}$
• 10, 30, −30, −10, −6, − ${\displaystyle }$, … , $\frac{10}{1-\frac{2(n-1)}{3}}$

Suma progresiilor armonice

Suma progresiilor armonice infinite tinde la infinit.

Nu este posibil ca suma unei progresii armonice de fracții cu numărătorul 1 (altul decât cazul banal în care a = 1 și k = 0) să fie un număr întreg. Motivul este că, în mod necesar, cel puțin un numitor al progresiei va fi divizibil cu un număr prim care nu divide niciun alt numitor.

Utilizarea în geometrie

Dacă punctele coliniare A, B, C și D sunt astfel încât D este conjugatul armonic al lui C față de A și B, atunci distanțele de la oricare dintre aceste puncte la cele trei puncte rămase formează o progresie armonică. În particular, oricare din șirurile AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB și DA, DC, DB sunt progresii armonice, unde fiecare dintre distanțe este definită de orientarea fixă a liniei (nu neapărat dreaptă, distanțele măsurându-se pe linie).

Într-un triunghi, dacă înălțimile sunt în progresie aritmetică, atunci laturile sunt în progresie armonicăFormat:Nc.

Bibliografie

• Format:En icon Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst (2007), Mastering Technical Mathematics, p. 221
• Format:En icon Chemical Rubber Company (1974), Standard mathematical tables, p. 102
• Format:En icon Webster Wells (1897), Essentials of algebra for secondary schools, p. 307

Vezi și

• Progresie aritmetică
• Progresie geometrică