Prim Pierpont

Un număr prim Pierpont este un număr prim de forma $2^u\cdot 3^v+1$ unde Format:Mvar și Format:Mvar sunt numere întregi nenegative. Adică, primele Pierpont sunt numerele prime Format:Mvar pentru care $p-1$ sunt 3-netede. Ele sunt numite după matematicianul James Pierpont, care le-a introdus în studiul poligoanelor regulate care poate fi construite pe baza conicelor.

Un prim Pierpont cu $v=0$ este de forma $2^u+1$, prin urmare este un prim Fermat. Dacă Format:Mvar este pozitiv, atunci Format:Mvar trebuie să fie și el pozitiv (deoarece un număr de forma $3^v+1$ este par, deci neprim), prin urmare toate numerele prime Pierpont care nu sunt prime Fermat sunt de forma $6k+1,$ unde Format:Mvar este un întreg pozitiv.

Primele numere prime Pierpont sunt:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329, ...

Distribuție

Distribuția exponenților celor mai mici prime Pierpont

Empiric, numerele prime Pierpont nu par a fi deosebit de rare sau împrăștiate. Există 42 de prime Pierpont mai mici de 10⁶, 65 mai mici de 10⁹, 157 mai mici de 10²⁰ și 795 mai mici de 10¹⁰⁰. Există puține restricții la factorizările algebrice ale primelor Pierpont, deci nu există cerințe ca la primele Mersenne ca exponentul să fie prim. Astfel, este de așteptat ca printre numerele cu Format:Mvar cifre de forma corectă $2^u\cdot 3^v+1$ partea dintre acestea care sunt prime să fie proporțională cu 1/Format:Mvar, o proporție similară cu proporția numerelor prime dintre toate numerele cu Format:Mvar cifre. Deoarece în acest interval există numere $\mathrm{\Theta }(n^2)$ de formă corectă, ar trebui să existe prime Pierpont $\mathrm{\Theta }(n^2).$

Pe baza acestui raționament Andrew M. Gleason a conjecturat că există infinit de multe prime Pierpont și, mai exact, că ar trebui să existe aproximativ Format:Math prime Pierpont până la Format:Math. Conform conjecturii Gleason există $\mathrm{\Theta }(\log N)$ prime Pierpont mai mici ca N, în contrast cu numărul mai mic conjecturat de prime Mersenne $O(\log \log N)$ în acest interval.

Testarea faptului că sunt prime

Când $2^u>3^v$, faptul că $2^u\cdot 3^v+1$ sunt prime este dat de teorema Proth. Pe de altă parte, când $2^u<3^v$ testarea că $M=2^u\cdot 3^v+1$ sunt prime este posibilă prin descompunerea lui $M-1$ într-un număr par înmulțit cu o putere mare a lui 3.

Numere prime Pierpont găsite în cursul căutării factorilor numerelor Fermat

În urma căutării în curs la nivel mondial a factorilor numerelor Fermat s-au găsit numere prime Pierpont ca factori. Tabelul următor conține valori ale lui m, k și n satfel încât

$k\cdot 2^n+1\text{ divides }{2}^{2^m}+1.$

Partea stângă este un prim Pierpont atunci când k este o putere a lui 3; partea dreaptă este un număr Fermat.

m	k	n	An	Descoperitor
38	3	41	1903	Cullen, Cunningham și Western
63	9	67	1956	Robinson
207	3	209	1956	Robinson
452	27	455	1956	Robinson
9428	9	9431	1983	Keller
12185	81	12189	1993	Dubner
28281	81	28285	1996	Taura
157167	3	157169	1995	Young
213319	3	213321	1996	Young
303088	3	303093	1998	Young
382447	3	382449	1999	Cosgrave și Gallot
461076	9	461081	2003	Nohara, Jobling, Woltman și Gallot
495728	243	495732	2007	Keiser, Jobling, Penné și Fougeron
672005	27	672007	2005	Cooper, Jobling, Woltman și Gallot
2145351	3	2145353	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman și Gallot
2478782	3	2478785	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman și Gallot
2543548	9	2543551	2011	Brown, Reynolds, Penné și Fougeron

Pînă în 2020 cel mai mare număr prim Pierpont cunoscur era 3·2^16408818 + 1 (cu 4 939 547 cifre zecimale), descoperit în octombrie 2020.

Vezi și

• Prim Proth