Plan osculator

Triedrul Frenet-Serret al unei curbe strâmbe și planul osculator al acesteia

În geometria diferențială, planul osculator al unei curbe strâmbe este limita planului care trece prin trei puncte vecine $(M,M^{\prime },M^{″})$ pe curbă, când punctele $M^{\prime },M^{″}$ tind către M.

Fie o curbă spațială dată prin ecuația ei vectorială: $\mathrm{\Gamma }:\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t),M_0(t_0)$ un punct regulat de pe curbă și $T_{M_0}(\mathrm{\Gamma })$ dreapta tangentă la curbă în punctul $M_0.$

Definiție. Un plan care conține dreapta tangentă c se numește plan tangent și se notează ${\pi }_{M_0}(\mathrm{\Gamma }).$

Fie un punct $M^{\prime }(t_0+k)$ de pe $\mathrm{\Gamma },$ vecin cu $M_0,$ k fiind o creștere mică astfel ca $t_0+k\in I.$ Fie $D(M_0,M{\text{'}}_0)$ dreapta determinată de aceste puncte, secantă pentru curba $\mathrm{\Gamma }.$

Observație. Dreapta obținută ca limită a pozițiilor secantelor $D(M_0,M{\text{'}}_0)$ când $M_0\to M{\text{'}}_0$ (adică $k\to 0$) este tangenta la $\mathrm{\Gamma }$ în punctul $M_0.$

Definiție. Planul determinat de dreapta $T_{M_0}(\mathrm{\Gamma })$ și de un punct $M{\text{'}}_0$ de pe curba $\mathrm{\Gamma }$ din vecinătatea lui $M_0,$ se numește plan osculator al curbei $\mathrm{\Gamma }$ în punctul $M_0,$ și se notează $P_{M_0}^o(\mathrm{\Gamma }).$

Planul osculator este determinat de $M_0,$ direcția tangentei $\dot{\overrightarrow{r}}(t_0)$ și de direcția $\overrightarrow{M_{0}M{\text{'}}_0}=\overrightarrow{r}(t_0+k)-\overrightarrow{r}(t_0).$

Se observă că vectorul $\frac{1}{k}[\overrightarrow{r}(t_0+k)-\overrightarrow{r}(t_0)]$ este coliniar cu vectorul $\overrightarrow{M_{0}M{\text{'}}_0}.$

Fie $t_k$ un punct intermediar din intervalul $(t_0,t_0+k).$ Conform ipotezei că $\overrightarrow{r}(t)$ este o funcție de clasă ${𝒞}^2$ pe intervalul real I, putem considera aproximarea de ordinul II a expresiei $\overrightarrow{r}(t_0+k):$

$\overrightarrow{r}(t_0+k)=\overrightarrow{r}(t_0)+k\cdot \dot{\overrightarrow{r}}(t_0)+\frac{k^2}{2!}\cdot \ddot{\overrightarrow{r}}(t_k)t_k\in (t_0,t_0+k)$

care se obține din formula Taylor cu restul Lagrange aplicată funcției vectoriale $\overrightarrow{r}.$

În plus, în baza continuității funcției $\ddot{\overrightarrow{r}},$ avem $\underset{k\to 0}{\lim }\ddot{\overrightarrow{r}}(t_k)=\ddot{\overrightarrow{r}}(t_0).$ Obținem astfel:

$\frac{\overrightarrow{r}(t_0+k)-\overrightarrow{r}(t_0)}{k}=\dot{\overrightarrow{r}}(t_0)+\frac{k}{2!}\cdot \ddot{\overrightarrow{r}}(t_k).$

Cum membrul drept al egalității de mai sus este un vector coliniar cu $\overrightarrow{M_{0}M{\text{'}}_0},$ rezultă că vectorul $\ddot{\overrightarrow{r}}(t_k)$ aparține planului osculator, pentru orice k. Trecând la limită pentru $k\to 0,$ obținem că vectorul $\ddot{\overrightarrow{r}}(t_0)$ aparține planului osculator.

Așadar, cunoaștem doi vectori directori ai planului osculator: $\dot{\overrightarrow{r}}(t_0)$ și $\ddot{\overrightarrow{r}}(t_0).$ Ecuația vectorială a planului osculator este:

$P_{M_0}^o(\mathrm{\Gamma }):(\overrightarrow{R}-\overrightarrow{r}(t_0);\dot{\overrightarrow{r}}(t_0);\ddot{\overrightarrow{r}}(t_0))=0$

iar ecuația carteziană a planului osculator este:

$P_{M_0}^O(\mathrm{\Gamma }):\left|\begin{array}{ccc}X-x(t_0)& Y-y(t_0)& Z-z(t_0)\\ \dot{x}(t_0)& \dot{y}(t_0)& \dot{z}(t_0)\\ \ddot{x}(t_0)& \ddot{y}(t_0)& \ddot{z}(t_0)\end{array}\right|=0$

Dacă curba $\mathrm{\Gamma }$ este dată sub formă parametrică, atunci ecuația planului osculator poate fi scrisă sub forma:

$P_{M_0}^O(\mathrm{\Gamma }):\{\begin{array}{c}X=x(t_0)+\alpha \dot{x}(t_0)+\beta \ddot{x}(t_0)\\ Y=y(t_0)+\alpha \dot{y}(t_0)+\beta \ddot{y}(t_0)\\ Z=z(t_0)+\alpha \dot{z}(t_0)+\beta \ddot{z}(t_0)\end{array}$     $\alpha ,\beta$ - parametrii

sau

$P_{M_0}^O(\mathrm{\Gamma }):A[x-x(t_0)]+B[y-y(t_0)]+C[z-z(t_0)]=0$

unde $A,B,C$ sunt complemenții algebrici ai matricei: $\left[\begin{array}{ccc}\dot{x}(t_0)& \dot{y}(t_0)& \dot{z}(t_0)\\ \ddot{x}(t_0)& \ddot{y}(t_0)& \ddot{z}(t_0)\end{array}\right]$

Observații

• Planul osculator al unei curbe plane este chiar planul curbei.
• Direcția normală a planului osculator $P_{M_0}^O(\mathrm{\Gamma })$ este vectorul:

$\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ \dot{x}(t_0)& \dot{y}(t_0)& \dot{z}(t_0)\\ \ddot{x}(t_0)& \ddot{y}(t_0)& \ddot{z}(t_0)\end{array}\right]=A\overrightarrow{i}+B\overrightarrow{j}+C\overrightarrow{k}.$

Dreapta normală pe planul osculator (adică dreapta de direcție $\dot{\overrightarrow{(}}{t}_0)\times \ddot{\overrightarrow{(}}{t}_0)$) în punctul $M_0$ se numește binormală, și se notează cu $B_{M_0}(\mathrm{\Gamma }).$