Ordin (teoria inelelor)

În matematică un ordin în sensul Format:Ill-wd este un subinel $𝒪$ al unui inel $A$, astfel încât

1. $A$ este o algebră finit-dimensională peste corpul $\mathbb{Q}$ numerelor raționale
2. $𝒪$ generează $A$ peste $\mathbb{Q}$ astfel încât $\mathbb{Q}𝒪=A,$ și
3. $𝒪$ este o $\mathbb{Z}$-Format:Ill-wd în $A$.

Ultimele două condiții pot fi enunțate în termeni mai puțin formali: în plus, $𝒪$ este un Format:Ill-wd generat de baza $A$ peste $\mathbb{Q}$.

În general, pentru un domeniu de integritate $R$ conținut în corpul $K$, se definește $𝒪$ ca fiind un ordin $R$ într-o $K$-algebră $A$ dacă este un subinel al lui $A$ care este o $R$-latice completă.

Dacă $A$ nu este un inel comutativ, ideea de ordin este încă importantă, dar fenomenele sunt diferite. De exemplu, Format:Ill-wd formează un ordin maximal între cuaternionii cu coordonate raționale; ei nu sunt cuaternioni cu coordonate întregi în sensul cel mai evident. Ordinele maximale există în general, dar nu trebuie să fie unice: în general nu există un cel mai mare ordin, ci un număr de ordine maximale.

Exemple

Exemple de ordine:

• Dacă $A$ este Format:Ill-wd $M_n(K)$ peste $K$, atunci inelul de matrici $M_n(R)$ peste $R$ este un ordin $R$ în $A$
• Dacă $R$ este un domeniu de integritate și $L$ o Format:Ill-wd finită a lui $K$, atunci Format:Ill-wd $S$ din $R$ în $L$ este un ordin $R$ în $L$.
• Dacă $a$ din $A$ este un Format:Ill-wd peste $R$, atunci Format:Ill-wd $R[a]$ este un ordin $R$ în algebra $K[a]$
• Dacă $A$ este Format:Ill-wd $K[G]$ al unui grup finit $G$, atunci $R[G]$ este un ordin $R$ pe $K[G]$

O proprietate fundamentală a $R$-ordinelor este că fiecare element al unui $R$-ordin este un Format:Ill-wd peste $R.$

Dacă închiderea întreagă $S$ a $R$ în $A$ este un $R$-ordin, atunci acest rezultat arată că $S$ trebuie să fie un $R$-ordin maximal în $A$. Totuși, această ipoteză nu este întotdeauna satisfăcută: într-adevăr, $S$ nu trebuie să fie nici măcar un inel, și chiar dacă $S$ este un inel (de exemplu, când $A$ este comutativă), atunci $S$ nu trebuie să fie o $R$-latice.

Teoria algebrică a numerelor

Exemplul principal este cazul în care $A$ este un Format:Ill-wd $K,$ iar $𝒪$ este inelul său de numere întregi. În Format:Ill-wd există exemple pentru orice $K$, altul decât corpul rațional al subinelelor proprii ale inelului de numere întregi care sunt, de asemenea, ordine. De exemplu, în extinderea corpului $A=\mathbb{Q}(i)$ a Format:Ill-wd peste $\mathbb{Q}$, închiderea întreagă a lui $\mathbb{Z}$ este inelul Format:Ill-wd $\mathbb{Z}[i]$ și deci aceasta este unicul $\mathbb{Z}$-ordin maximal: toate celelalte ordine din $A$ sunt conținute în el, de exemplu subinelul numerelor complexe de forma $a+2bi$, cu $a$ și $b$ numere întregi.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book