Număr poligonal central

Prăjitură rotundă tăiată în 7 bucăți prin trei tăieturi

În matematică un număr poligonal central este un număr figurativ care indică numărul maxim de regiuni în care poate fi divizat un disc printr-un număr dat, Format:Mvar, de drepte. Prin analogie cu tăierea în bucăți a unei foi de clătită, pentru Format:Mvar succesiv numerele sunt cunoscute drept șirul tăietorului leneș (în Format:En). De exemplu, cu trei tăieturi o clătită va putea fi tăiată în șase bucăți dacă toate tăieturile se întâlnesc într-un punct comun în interiorul discului, dar în șapte bucăți dacă nu se întâlnesc. Această problemă poate fi formalizată matematic ca una de numărare a regiunilor dintr-un Format:Ill-wd. Pentru generalizări în dimensiuni superioare a se vedea Format:Ill-wd.

Analogul tridimensional al acestui șir este șirul numerelor de tort.

Formula șirului

Numărul maxim de regiuni Format:Mvar care se pot obține prin Format:Mvar tăieturi drepte este al Format:Mvar-lea număr triunghiular plus 1, formând șirul tăietorului leneș

În triunghiul lui Bernoulli șirul tăietorului leneș este cel colorat verde

Numărul maxim de regiuni Format:Mvar care se pot obține prin Format:Mvar tăieturi drepte, unde Format:Math, este dat de formula:

$p=\frac{n^2+n+2}{2}.$

Folosind coeficienții binomiali, formula poate fi exprimată sub forma:

$p=1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}).$

De fapt, doar se adună 1 la numerele triunghiulare. Deoarece a treia coloană a triunghiului lui Bernoulli (Format:Mvar = 2) este un număr triunghiular plus unu, ea este șirul tăietorului leneș din Format:Mvar tăieturi, unde Format:Mvar ≥ 2.

Șirul poate fi obținut și din suma primilor 3 termeni ai fiecărui rând din triunghiul lui Pascal:

Format:Separator diagonal	0	1	2		Suma
0	1	-	-		1
1	1	1	-		2
2	1	2	1		4
3	1	3	3		7
4	1	4	6		11
5	1	5	10		16
6	1	6	15		22
7	1	7	21		29
8	1	8	28		37
9	1	9	36		46

Șirul, începând cu Format:Math, este:

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

Analogul său tridimensional este șirul numerelor de tort. Diferența dintre numerele succesive de tort dă șirul tăietorului leneș.

Demonstrație

Numărul maxim de bucăți obținute prin tăieturi consecutive sunt numerele din șirul tăietorului leneș

Când un disc este tăiat de Format:Mvar ori, pentru a se obține numărul maxim de bucăți, reprezentat ca Format:Math, trebuie luată în considerare a Format:Mvar-a tăietură; numărul de bucăți înainte de ultima tăiere este Format:Math, în timp ce numărul de bucăți adăugate de ultima tăiere este Format:Mvar.

Pentru a obține numărul maxim de bucăți, a Format:Mvar-a dreaptă tăietoare ar trebui să intersecteze toate celelalte drepte tăietoare anterioare din interiorul discului, dar să nu treacă prin nicio intersecție a dreptelor tăietoare anterioare. Astfel, a Format:Mvar-a dreaptă în sine este tăiată în Format:Math locuri și în Format:Mvar segmente. Fiecare segment divide Format:Math bucăți deja tăiate în 2 părți, adăugând exact Format:Math la numărul de bucăți. Noua dreaptă nu poate avea mai multe segmente, deoarece poate traversa fiecare dreaptă anterioară o singură dată. O dreaptă tăietoare poate trece întotdeauna peste toate dreptele tăietoare anterioare, deoarece rotirea cuțitului la un unghi mic în jurul unui punct care nu este o intersecție deja existentă va intersecta, dacă unghiul este suficient de mic, toate dreptele anterioare, inclusiv pe ultima adăugată.

Astfel, numărul total de piese după Format:Mvar tăieturi este:

$f(n)=n+f(n-1).$

Această relație de recurență poate fi rezolvată. Dacă Format:Math este extins cu un termen, relația devine:

$f(n)=n+(n-1)+f(n-2).$

Dezvoltarea termenului Format:Math poate continua până când ultimul termen este redus la Format:Math, astfel,

$f(n)=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +1+f(0).$

Fiindcă Format:Math, deoarece există o singură bucată înainte de a face prima tăiere, aceasta poate fi rescrisă ca:

$f(n)=1+(1+2+3+\cdots +n).$

Expresia poate fi simplificată folosind formula pentru suma unei progresii aritmetice:

$f(n)=1+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n+2}{2}.$

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation

Vezi și

• Triunghiul lui Floyd

Legături externe

• Format:En icon Format:Mathworld