Număr pentatopic

Numărul pentatopic de 70 de sfere poate fi aranjat într-o figură cu latura bazei de 5 sfere. Fiecare strat reprezintă un număr tetraedric, de exemplu, cel de jos (verde) are 35 de sfere

Un număr pentatopic sau 4-simplectic este un număr figurativ. Șirul acestor numere apare într-a cincea poziție din rândurile din triunghiul lui Pascal, indiferent că triunghiul este citit de la stânga la dreapta sau de la dreapta la stânga, începând cu rândul al cincilea Format:Nowrap. Este și numărul de 3-fețe (celule) al unui Format:Mvar-simplex.

Primele numere de acest tip sunt:

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365

Formule

Formula pentru al Format:Mvar-lea număr pentatopic este dată de raportul dintre al 4-lea factorial crescător al Format:Mvar și factorial de 4:

$P_n=\frac{n+3}{4}{T}_n=\frac{n^{\bar{4}}}{4!}=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$.

unde $T_n$ reprezintă al Format:Mvar-lea număr tetraedric.

Numerele pentatopice pot fi reprezentate de coeficienții binomiali:

$P_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+3}{4}),$

care este numărul de seturi de 4 elemente care pot fi selectate dintre Format:Mvar + 3 elemente.

Numerele pentatopice pot fi reprezentate ca suma primelor Format:Mvar numere tetraedrice:

$P_n=\sum _{k=1}^n{T}_n,$

Funcția generatoare pentru numerele pentatopice este

$\frac{x}{(1-x{)}^5}=x+5x^2+15x^3+35x^4+\dots .$