Număr Lucas

Spirala Lucas, realizată cu sferturi de arc, reprezintă o bună aproximare a spiralei de aur când termenii ei sunt mari

A nu se confunda cu număr Pell–Lucas.

În matematică, numerele Lucas sau seria Lucas reprezintă un șir de numere întregi numit după matematicianul Édouard Lucas (1842–91), care a studiat atât acest șir, cât și numerele Fibonacci strâns legate. Numerele Lucas și numerele Fibonacci formează instanțe complementare ale seriei Lucas.

Numerele Lucas sunt definite asemenea numerelor Fibonacci sau a numerelor Pell: fiecare termen al seriei Lucas fiind egal cu suma celor doi termeni anteriori; ceea ce diferă sunt termenii inițiali ai seriei: $L_n=L_{n-1}+L_{n-2}$, unde $L_0=2$ și $L_1=1$.

Astfel primele câteva numere ale seriei Lucas sunt:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ....

Uneori se consideră că primii doi termeni ai seriei sunt L₀ = 2 și L₁ = 1, ceea ce nu schimbă seria de la termenul 3 în sus.

Un număr Lucas care este și număr prim se numește prim Lucas. Primele 16 numere prime Lucas sunt:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371

Relația cu numerele Fibonacci

Prima identitate dintre numerele Fibonacci și numerele Lucas exprimată vizual

Datorită naturii similare, există mai multe identități între numerele Lucas $L_n$ și numerele Fibonacci $F_n$. Printre acestea se numără următoarele:

• $L_n=F_{n-1}+F_{n+1}=F_n+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}$
• $L_{m+n}=L_{m+1}{F}_n+L_m{F}_{n-1}$
• $L_n^2=5F_n^2+4(-1{)}^n$, și pe măsură ce $n$ se apropie de +∞, raportul $\frac{L_n}{F_n}$ se apropie de $\sqrt{5}.$
• $F_{2n}=L_n{F}_n$
• $F_{n+k}+(-1{)}^k{F}_{n-k}=L_k{F}_n$
• $L_{n+k}-(-1{)}^k{L}_{n-k}=5F_n{F}_k$; în particular, $F_n=\frac{L_{n-1}+L_{n+1}}{5}$

Formula lor închisă este dată ca:

$L_n={\phi }^n+(1-\phi {)}^n={\phi }^n+(-\phi {)}^{-n}={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n,$

unde $\phi$ este raportul de aur. Alternativ, pentru $n>1$ mărimea termenului $(-\phi {)}^{-n}$ este mai mică de 1/2, $L_n$ este cel mai apropiat număr întreg de ${\phi }^n$ sau, în mod echivalent, partea întreagă a lui ${\phi }^n+1/2$, scrisă și ca $\lfloor {\phi }^n+1/2\rfloor$.

Combinând cele de mai sus cu formula lui Binet,

$F_n=\frac{{\phi }^n-(1-\phi {)}^n}{\sqrt{5}},$

se obține o formulă pentru ${\phi }^n$:

${\phi }^n=\frac{L_n+F_n\sqrt{5}}{2}.$

Vezi și

• Listă de numere