Teorema lui Ceva

Dreptele (AD), (BE) și (CF) sunt concurente sau paralele dacă și numai dacă
${}^{\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}=1}$.

Teorema lui Ceva este o propoziție din geometria triunghiului, cu aplicații în geometria proiectivă. A fost descoperită în Europa de matematicianul italian Giovanni Ceva, care a formulat-o și a demonstrat-o în 1678 în lucrarea De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio.

Se pare că această teoremă era cunoscută, cu multe secole înainte (secolul al XI-lea), și de unii matematicieni arabi (Yusuf Al-Mu'taman ibn Hud).

Enunț

Geometrie euclidiană

Teorema lui Ceva - Fie triunghiul ABC și D, E, F trei puncte diferite de vârfurile triunghiului aflate respectiv pe laturile acestuia [BC], [CA], [AB]. Atunci dreptele AD, BE și CF sunt concurente dacă și numai dacă:

$\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=1$ (1)

Demonstrație

Geometrie euclidiană

Fie dreptele AD, BE și CF concurente.

Se aplică teorema lui Menelaus în triunghiul ABD și punctele F, M, C, coliniare. Se obține:

$\frac{BC}{DC}.\frac{MD}{AM}.\frac{FA}{FB}=1$

Se aplică aceeași teoremă în triunghiul ADC și B, M, E, coliniare. Se obține:

$\frac{AM}{MD}.\frac{DB}{BC}.\frac{EC}{AE}=1$

Înmulțind aceste două egalități se obține (1).

Vezi și

• Teorema lui Menelaus
• Coliniaritate

Legături externe

• Aplet Java pentru Teorema lui Ceva
• Format:En icon Demonstrație cu animație de Antonio Gutierrez, Peru.
• Format:En icon Menelaus și Ceva la MathPages.
• Format:En icon Consecințe și aplicații la Cut-the-knot.
• Format:En icon Forma trigonometrică
• Format:En icon Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers include diverse definiții.
• Format:En icon Conice asociate, de Clark Kimberling Format:Webarchive
• Format:En icon Teorema lui Ceva de Jay Warendorff, The Wolfram Project.
• Format:En icon Teorema la MathWorld
• Format:De icon Demonstrație animată Format:Webarchive