Involuție (matematică)

O involuție este o funcție $f:X\to X$ care, aplicată de două ori, se întoarce la punctul de pornire

În matematică, o involuție, sau o funcție involutivă, este o funcție Format:Mvar care este inversa ei înseși

Format:Math

pentru orice Format:Mvar din domeniul de definiție al Format:Mvar. Echivalent, rezultatul obținut prin aplicarea funcției Format:Mvar de două ori este valoarea inițială.

Proprietăți generale

Orice involuție este bijectivă.

Funcția identitate ($f(x)=x$) este exemplul banal de involuție. Exemple simple de involuții sunt înmulțirea cu −1 în aritmetică, elementul invers, conjugatul complex, anumite permutări și complementul din teoria mulțimilor. Alte exemple sunt rotația cu o jumătate de tură, transpoziția de tip ROT13, matrice transpusă, cifrarea simetrică, cifrul Beaufort sau cifrul polialfabetic.

Numărul involuțiilor, inclusiv involuția identică, pe o mulțime cu elementele Format:Nowrap este dat de o relație de recurență găsită de Heinrich August Rothe în 1800:

$a_0=a_1=1$ și $a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ pentru $n>1.$

Primii câțiva termeni ai acestui șir sunt 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 (șirul OEIS A000085); aceste numere se numesc Format:Ill-wd și indică și numărul de tablouri Young cu un număr de celule dat. Compunerea Format:Nowrap a două involuții f și g este o involuție dacă și numai dacă operația este comutativă: Format:Nowrap.

Orice involuție pe un număr impar de elemente are cel puțin un punct fix. Mai general, pentru o involuție pe o mulțime finită de elemente, numărul de elemente și numărul de puncte fixe au aceeași paritate.

Lectură suplimentară

• Format:En icon Format:Cite journal
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Involution, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press (Springer-Verlag), 2001