Integrală de volum

În analiza matematică, în special în Format:Ill-wd, o integrală de volum (∭) este o integrală peste un domeniu tridimensional, adică este un caz particular de integrale multiple. Integralele de volum sunt deosebit de importante în fizică pentru multe aplicații, de exemplu, pentru a calcula densitățile fluxurilor sau pentru a calcula masa dintr-o funcție de densitate corespunzătoare.

În coordonate

Poate însemna și o integrală triplă într-o regiune $D\subset {ℝ}^3$ a unei funcții $f(x,y,z),$ și se scrie de obicei ca:

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz.$

O integrală de volum în coordonate polare este

$\underset{D}{\iiint }f(\rho ,\phi ,z)\rho d\rho d\phi dz,$

iar o integrală de volum în coordonate sferice (folosind convenția ISO pentru unghiuri cu unghiul azimutal $\phi$ și unghiul zenital $\theta$ (măsurat față de axa polară) are forma

$\underset{D}{\iiint }f(r,\theta ,\phi )r^2\sin \theta drd\theta d\phi .$

Exemple

Integrarea ecuației $f(x,y,z)=1$ peste un cub unitate dă următorul rezultat:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}1dxdydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-0)dydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-0)dz=1-0=1$

Deci volumul cubului unitate este 1 așa cum era de așteptat. Acest lucru este însă destul de banal, iar o integrală de volum este mult mai puternică. De exemplu, dacă avem o funcție scalară de densitate pe cubul unitate, atunci integrala de volum va da masa totală a cubului. De exemplu, pentru funcția densității:

$\{\begin{array}{c}f:{ℝ}^3\to ℝ\\ f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{array}$

masa totală a cubului este:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+y+z)dxdydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\frac{1}{2}+y+z)dydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1+z)dz=\frac{3}{2}.$

Alt exemplu: coordonatele centrului de masă ale unui corp $V\subset {ℝ}^3$ cu densitatea $\rho (x,y,z)$ se pot calcula cu relațiile:

$x_G=\frac{1}{M}\underset{V}{\iiint }x\cdot \rho (x,y,z)dxdydz,$

$y_G=\frac{1}{M}\underset{V}{\iiint }y\cdot \rho (x,y,z)dxdydz,$

$z_G=\frac{1}{M}\underset{V}{\iiint }z\cdot \rho (x,y,z)dxdydz,$

unde Format:Mvar este masa corpului.

Bibliografie

• Alexandra Ciupa, Adrian Holhoș, Calcul integral: Culegere de probleme, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, 2011, Cap. 5: Integrale de volum, accesat 2024-04-04

Vezi și

• Integrală de suprafață
• Element de volum

Legături externe

• Format:En icon Format:Springer

• Format:En icon Format:MathWorld