Inel de întregi algebrici

În matematică, inelul numerelor întregi al unui corp algebric K este inelul elementelor întregi conținute în K.

Pentru construcția mulțimii numerelor întregi $\mathbb{Z}$ se utilizează următoarea teoremă atribuită lui Anatoli Malțev:

Teoremă.

Fie $(M,\cdot )$ un monoid comutativ cu proprietatea de simplificare. Atunci există un grup comutativ G(M) și un morfism injectiv de monoizi:

$i_M:M\to G(M),$

care verifică următoarea proprietate de universalitate:

Pentru orice grup comutativ G și orice morfism de monoizi $f:M\to G$ există un unic morfism de grupuri $f^{\prime }:G(M)\to G$ astfel încât diagrama de mai jos este comutativă (adică $f^{\prime }\circ i_M=f$):

Demonstrație

Pe mulțimea $M^{\prime }=M\times M$ definim relația $(x,y)\sim (x^{\prime },y^{\prime })\stackrel{def}{⟺}x{y}^{\prime }=y{x}^{\prime }.$
Se demonstrează că $\sim$ este o echivalență pe $M^{\prime }$ compatibilă cu structura de monoid a lui $M^{\prime }$ (adică $\sim$ este o congruență pe monoidul produs $M^{\prime }=M\times M$).

În mod evident, relația $\sim$ este reflexivă și simetrică. Dacă $(x,y)\sim (x^{\prime },y^{\prime })$ și $(x^{\prime },y^{\prime })\sim (x^{″},y^{″})$ atunci $x{y}^{\prime }=y{x}^{\prime }$ și $x^{\prime }{y}^{″}=x^{″}{y}^{\prime },$ de unde $x{x}^{\prime }{y}^{\prime }{y}^{″}=x^{\prime }{x}^{″}y{y}^{\prime },$ deci $x{y}^{″}=y{x}^{″},$ adică $(x,y)\sim (x^{″},y^{″}),$ deci relația $\sim$ este și tranzitivă, de unde concluzia că $\sim$ este o echivalență pe $M^{\prime }$.