Funcție Lommel

În matematică, Funcția Lommel este soluția ecuației diferențiale Lommel, care de fapt este o ecuație diferențială Bessel neomogenă, de forma:

$z^2\frac{d^{2}y}{d{z}^2}+z\frac{dy}{dz}+(z^2-{\nu }^2)y=k{z}^{\mu +1}.$

Funcțiile Lommel de o variabilă

Cazul cel mai comun este cel în care valoarea k = 1, iar soluțiile ecuației în acest caz sunt:

$y_1(z)=C1J_{\nu }(z)+C2Y_{\nu }(z)+s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)$

$y_1(z)=C1J_{\nu }(z)+C2Y_{\nu }(z)+s_{\mu ,\nu }^{(2)}(z)$

unde $s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)$ și $s_{\mu ,\nu }^{(2)}(z)$ sunt funcțiile lui Lommel, introduse de Eugen von Lommel, în 1880. De notat că funcția $s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)$ se mai notează simplificat cu $s_{\mu ,\nu }(z)$, iar $s_{\mu ,\nu }^{(2)}(z)$ cu $S_{\mu ,\nu }(z)$.

$s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)=\frac{1}{2}\pi [Y_{\nu }(z)\underset{0}{\overset{z}{\int }}{z}^{\mu }{J}_{\nu }(z)dz-J_{\nu }(z)\underset{0}{\overset{z}{\int }}{z}^{\mu }{Y}_{\nu }(z)dz]$

$s_{\mu ,\nu }^{(2)}(z)=s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)-\frac{2^{\mu -1}\mathrm{\Gamma }(\frac{1+\mu +\nu }{2})}{\pi \mathrm{\Gamma }(\frac{\nu -\mu }{2})}(J_{\nu }(z)-\cos (\pi (\mu -\nu )/2)Y_{\nu }(z))$

unde J_ν(z) este funcția Bessel de speța I-a, iar Y_ν(z) funcția Bessel de speța a II-a.

Funcțiile Lommel mai pot fi scrise sub forma:

$s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)=z^{\mu +1}\frac{{}_1{F}_2(1;\frac{1}{2}(\mu -\nu +3),\frac{1}{2}(\mu +\nu +3);-\frac{1}{4}{z}^2)}{(\mu +1{)}^2-{\nu }^2}$

$\begin{array}{cc}{s}_{\mu ,\nu }^{(2)}(z)& =z^{\mu +1}\frac{{}_1{F}_2(1;\frac{1}{2}(\mu -\nu +3),\frac{1}{2}(\mu +\nu +3);\frac{1}{4}{z}^2)}{(\mu +1{)}^2-{\nu }^2}\\ & +z^{-\nu }\frac{2^{\mu +\nu -1}\mathrm{\Gamma }(\nu )\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(\mu +\nu +1)){}_0{F}_1(;1-\nu ;-\frac{1}{4}{z}^2)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(-\mu +\nu +1))}\\ & +z^{\nu }\frac{2^{\mu -\nu -1}\mathrm{\Gamma }(-\nu )\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(\mu -\nu +1)){}_0{F}_1(;1+\nu ;-\frac{1}{4}{z}^2)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(-\mu -\nu +1))}\\ \end{array}$

în care ${}_1{F}_2(a;b,c;d)$ și ${}_0{F}_1(a;b;c)$ sunt serii hipergeometrice generalizate.

Relații funcționale pentru funcțiile de o variabilă

$s_{\mu +2,\nu }^{(1)}(z)=z^{\mu +1}-[(\mu +1{)}^2-{\nu }^2]s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)$

$\left(\frac{d}{dz}\right)s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)+\left(\frac{\nu }{z}\right)s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)=(\mu +\nu -1)s_{\mu -1,\nu -1}^{(1)}(z)$

$\left(\frac{d}{dz}\right)s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)-\left(\frac{\nu }{z}\right)s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)=(\mu -\nu -1)s_{\mu -1,\nu +1}^{(1)}(z)$

Funcțiile Lommel de două variabile

Funcția $U_{\nu }(w,z)$ este o soluție particulară a ecuației diferențiale:

$\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}-\frac{1}{z}\frac{\partial U}{\partial z}+\frac{z^{2}U}{w^2}={\left(\frac{w}{z}\right)}^{\mu -2}{J}_{\nu }(z)$

și este dată de relația:

$U_{\nu }(w,z)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m{\left(\frac{w}{z}\right)}^{\nu +2m}{J}_{\nu +2m}(z)$

Funcția $V_{\nu }(w,z)$ este o soluție particulară a ecuației diferențiale:

$\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}-\frac{1}{z}\frac{\partial V}{\partial z}+\frac{z^{2}V}{w^2}={\left(\frac{w}{z}\right)}^{\mu }{J}_{-\nu +2}(z)$

și este dată de relația:

$V_{\nu }(w,z)=\cos \left[\frac{1}{2}(w+\frac{z^2}{w}+\nu \pi )\right]+U_{-\nu +2}(w,z)$

Relații funcționale pentru funcțiile de două varabile

$2\frac{\partial }{\partial w}{U}_{\nu }(w,z)=U_{\nu -1}(w,z)+{\left(\frac{z}{w}\right)}^2{U}_{\nu +1}(w,z)$

$2\frac{\partial }{\partial w}{V}_{\nu }(w,z)=V_{\nu +1}(w,z)+{\left(\frac{z}{w}\right)}^2{V}_{\nu -1}(w,z)$

Vezi și

• Funcție Anger
• Polinomul Lommel
• Funcție Struve
• Funcție Weber

Referințe

• Erdélyi, Arthur; Magnus,Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G, (1953), Higher transcendental functions. Vol II, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, MR0058756
• Lommel,E, (1875), Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function, Math Ann 9: 425-444, 10.1007/BF01443342Format:Legătură nefuncțională
• Lommel,E, (1880), Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV, Math. Ann. 16: 183–208 10.1007/BF01446386Format:Legătură nefuncțională
• Solomentsev, E.D. (2001) Lommel function, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publisher, 978-1556080104
• Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press. Format:ISBN.

Legături externe

• Weisstein, Eric W. "Lommel Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• Weisstein, Eric W. "Lommel Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.