Ecuație cu derivate parțiale parabolică

În analiza matematică o ecuație cu derivate parțiale parabolică este un tip de ecuație cu derivate parțiale (EDP). Aceste ecuații parabolice sunt folosite pentru a descrie o mare varietate de fenomene dependente de timp, de exemplu în ingineria fizică, mecanica cuantică și matematica financiară. Exemplele cuprind ecuația propagării căldurii, ecuația lui Schrödinger dependentă de timp și Format:Ill-wd.

Definiție

Pentru a defini cel mai simplu tip de EDP parabolică, fie o funcție reală $u(x,y)$ de două variabile reale independente, $x$ și $y$. O EDP de ordinul al doilea, liniară, cu coeficienți constanți pentru $u$ are forma

$A{u}_{xx}+2B{u}_{xy}+C{u}_{yy}+D{u}_x+E{u}_y+F=0$

unde indicii arată derivatele parțiale de ordinul întâi și al doilea în raport cu $x$ și $y$. O EDP este clasificată drept parabolică dacă coeficienții părții principale (adică termenii care conțin derivatele de ordinul al doilea ale lui $u$) îndeplinesc condiția

$B^2-AC=0$

De obicei $x$ reprezintă poziția unidimensională, $y$ reprezintă timpul, iar EDP este rezolvată pentru o anumită condiție inițială și a condiției la limită prescrise. Ecuațiile cu $B^2-AC<0$ sunt denumite eliptice, în timp ce cele cu $B^2-AC>0$ sunt hiperbolice. Denumirea „parabolică” este folosită deoarece relația dintre coeficienți este aceeași cu condiția pentru ecuația geometriei analitice $A{x}^2+2Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ care definește o parabolă.

Exemplul de bază a unei EDP parabolice este ecuația propagării căldurii unidimensională.

$u_t=\alpha u_{xx},$

unde $u(x,t)$ este temperatura în poziția $x$ de-a lungul unei bare subțiri la momentul $t,$ iar $\alpha$ este o constantă pozitivă, difuzivitatea termică.

Ecuația căldurii spune, aproximativ, că temperatura într-un punct și la un moment dat crește sau scade cu o viteză proporțională cu diferența dintre temperatura din acel punct și temperatura medie din apropierea acelui punct. Mărimea $u_{xx}$ măsoară cât de departe este temperatura de a satisface proprietatea valorii medii a funcțiilor armonice.

Conceptul de EDP parabolică poate fi generalizat în mai multe moduri. De exemplu, fluxul de căldură printr-un corp material este guvernat de ecuația tridimensională a căldurii

$u_t=\alpha \mathrm{\Delta }u,$

unde

$\mathrm{\Delta }u:=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2},$

este laplacianul acționând asupra lui $u$. Această ecuație este prototipul unei EDP parabolică multidimensională.

De reținut că $-\mathrm{\Delta }$ este un Format:Ill-wd care sugerează o definiție mai largă a unei EDP parabolice:

$u_t=-Lu,$

unde $L$ este operatorul eliptic de ordinul al doilea (care implică faptul că $L$ trebuie să fie pozitiv; un caz în care $u_t=+Lu$ este prezentat mai jos).

Un sistem de ecuații cu derivate parțiale pentru un vector $u$ poate fi, de asemenea, parabolic. De exemplu, un astfel de sistem este ascuns într-o ecuație de forma

$\mathrm{\nabla }\cdot (a(x)\mathrm{\nabla }u(x))+b(x{)}^{\text{T}}\mathrm{\nabla }u(x)+cu(x)=f(x)$

dacă funcția matricială $a(x)$ are un Format:Ill-wd de dimensiunea 1.

Rezolvare

În sens larg, o problemă inițială/condiție la limită pentru o EDP parabolică liniară are întotdeauna o soluție. Soluția $u(x,t)$, în funcție de $x$ pentru un anume $t>0$, este în general mai netedă decât datele inițiale $u(x,0)=u_0(x)$.

Pentru o EDP parabolică neliniară, o soluție a unei probleme inițiale/condiții la limită ar putea ajunge la o singularitate într-o perioadă finită de timp. Poate fi dificil de determinat dacă există întotdeauna o soluție sau de înțeles singularitățile care apar. Astfel de întrebări interesante apar în soluția conjecturii Poincaré via Format:Ill-wd.

Ecuație parabolică inversă

Ocazional se întâlnește așa-numita EDP parabolică inversă, care are forma $u_t=Lu$ (de observat absența semnului minus).

O problemă cu valoarea inițială pentru ecuația căldurii inversă,

$\{\begin{array}{cc}{u}_t=-\mathrm{\Delta }u& \text{pe}\mathrm{\Omega }\times (0,T),\\ u=0& \text{pe}\partial \mathrm{\Omega }\times (0,T),\\ u=f& \text{pe}\mathrm{\Omega }\times \left\{0\right\}.\end{array}$

este echivalentă cu o problemă cu valoarea finală pentru ecuația obișnuită a căldurii,

$\{\begin{array}{cc}{u}_t=\mathrm{\Delta }u& \text{pe}\mathrm{\Omega }\times (0,T),\\ u=0& \text{pe}\partial \mathrm{\Omega }\times (0,T),\\ u=f& \text{pe}\mathrm{\Omega }\times \left\{T\right\}.\end{array}$

Similar cu o problemă cu valoarea finală pentru o EDP parabolică, o problemă cu valoarea inițială pentru o EDP parabolică inversă de obicei nu este Format:Ill-wd (soluțiile cresc adesea nelimitat în timp finit, sau chiar nu există). Totuși, aceste probleme sunt importante pentru studiul reflectării singularităților soluțiilor la diferite alte EDP.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite journal
• Format:En icon Format:Cite book

Lectură suplimentară

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Springer
• Format:En icon Format:Springer

Vezi și

• Ecuație cu derivate parțiale eliptică
• Ecuație cu derivate parțiale hiperbolică