Ecuațiile lui Euler (dinamica fluidelor)

În dinamica fluidelor, ecuațiile lui Euler constituie un sistem de ecuații ce descriu mișcarea fluidelor fără viscozitate și reprezintă o consecință a conservării masei, momentului și energiei în cadrul ecuațiilor Navier-Stokes.

Element de fluid sub acțiunea forțelor de suprafață

Pentru obținerea acestor ecuații, se va considera un o element de fluid paralelipipedic de masă dm. Aceasta se află în echilibru dinamic sub acțiunea forței de inerție și a forțelor exterioare:

$dm\cdot \overrightarrow{a}=d{\overrightarrow{F}}_m+d{\overrightarrow{F}}_s,$

unde

$d{\overrightarrow{F}}_m={\overrightarrow{f}}_m\cdot dm$

este forța masică, ${\overrightarrow{f}}_m(X,Y,Z)$ fiind forța masică unitară.

Componentele masice sunt:

$\{\begin{array}{c}d{F}_{m_x}=X\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\\ d{F}_{m_y}=Y\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\\ d{F}_{m_z}=Z\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\end{array}$

Forțele de suprafață se pot calcula pe fiecare suprafață a elementului de fluid prin produsul dintre valoarea presiunii (considerată constantă pe fiecare față a particulei) și mărimea suprafeței pe care acționează. Componentele după direcțiile Ox, Oy, Oz ale rezultantei forțelor de presiune $d{F}_p$ sunt:

$\{\begin{array}{c}d{F}_{p_x}=p\cdot dy\cdot dz-(p+\frac{\partial p}{\partial x}\cdot dx\cdot dy\cdot dz)=-\frac{\partial p}{\partial x}\cdot dx\cdot dy\cdot dz\\ d{F}_{p_y}=-\frac{\partial p}{\partial y}\cdot dy\cdot dy\cdot dz\\ d{F}_{p_z}=-\frac{\partial p}{\partial z}\cdot dy\cdot dy\cdot dz\end{array}$

Ecuația de mișcare după direcția Ox este:

$\frac{du}{dt}=\rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz=X\cdot \rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz-\frac{\partial p}{\partial x}\cdot dx\cdot dy\cdot dz.$

Analog se obțin ecuațiile după direcțiile Oy și Oz. Se împart aceste ecuații la masa elementului de fluid $dm=\rho \cdot dx\cdot dy\cdot dz\ne 0$ și ținând cont de derivatele substanțiale ale vitezelor, obținem ecuațiile lui Euler pentru dinamica fluidelor reale: