Ecuația funcțională a lui Cauchy

Ecuația lui Cauchy pe $ℝ$

Ecuația funcțională considerată de Cauchy încă înainte de anul 1900, s-a dovedit deosebit de dificilă.Determinarea soluțiilor discontinue ale acestei ecuații a dat de lucru multor matematicieni.

Noțiuni introductive

Definiție: Ecuația funcțională $(C):\{\begin{array}{c}f:ℝ\to ℝ\\ f(x+y)=f(x)+f(y);& x,y\in ℝ\end{array}$
se numește ecuația lui Cauchy iar soluțiile ei se numesc funcții aditive.

Proprietăți

Teoremă: Dacă $f:ℝ\to ℝ$ este o funcție aditivă, atunci :
(a) $f(q)=qf(1),$ pentru orice $q\in \mathbb{Q};$
(b)$f(qx)=qf(x),$ pentru orice $q\in \mathbb{Q}$ și $x\in ℝ;$
(c) Funcția $g:ℝ\to ℝ,g(x)=f(x)-f(1)\cdot x,x\in ℝ$ este funcție aditivă și restricția ei la $\mathbb{Q}$ este $g{\mid }_{\mathbb{Q}}=0.$

Demonstrație: Din condiția $f(x+y)=f(x)+f(y);x,y\in ℝ,$
prin inducție rezultă $f(x_1+x_2+\dots +x_n)=f(x_1)+f(x_2)+\dots +f(x_n)$
și în particular
$f(nx)=nf(x);n\in \mathbb{N}$
$f(0)=0$
$f(-nx)+f(nx)=f(0)=0,$ deci $f(-nx)=-nf(x).$
Deci $f(kx)=kf(x);k\in \mathbb{Z},x\in ℝ.$
Avem: $f(x)=f(\frac{x}{n}+\dots +\frac{x}{n})=nf(\frac{x}{n}),$
deci
$f(\frac{x}{n})=\frac{1}{n}f(x)$ și
$f(\frac{mx}{n})=\frac{1}{n}f(mx)=\frac{m}{n}f(x);m,n\in \mathbb{Z},n\ne 0,x\in ℝ,$
deci $f(qx)=qf(x);x\in ℝ,q\in \mathbb{Q}.$
Pentru $x=1$ obținem $f(q)=qf(1),q\in \mathbb{Q},$ deci punctele (a), (b) din teoremă sunt demonstrate.
(c) Din (a) $f(q)=qf(1),q\in \mathbb{Q},$ deci
$f(q)-qf(1)=0.$
Avem $g(x+y)=f(x+y)-(x+y)f(1)=f(x)-xf(1)+f(y)-yf(1)=g(x)+g(y),x,y\in ℝ,$
deci $g$ este aditivă.

Observația:Dacă $g:ℝ\to ℝ$ este o funcție aditivă și $g{\mid }_{\mathbb{Q}}=0$ atunci $Img=0$ sau $Img$ este o mulțime densă în $ℝ.$

Bibliografie

1. V. Pop, Ecuații funcționale. Ecuații clasice și probleme, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2002.
2. J. Aczel, Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York and London, 1966.

Vezi și

• Ecuația funcțională exponențială