Dodecaedru excavat

În geometrie dodecaedrul excavat este un poliedru stelat care arată ca un dodecaedru regulat cu piramide pentagonale concave în locul fețelor sale. Suprafața sa exterioară reprezintă stelarea Ef₁g₁ a icosaedrului din cartea The Fifty-Nine Icosahedra. Apare în cartea lui Magnus Wenninger Polyhedron Models ca modelul 28, a treia stelare a icosaedrului.

Descriere

Toate cele 20 de vârfuri și 30 din cele 60 de laturi ale sale aparțin anvelopei sale, un dodecaedru regulat. Celelalte 30 de laturi interne sunt mai lungi și aparțin unui mare dodecaedru stelat. (Fiecare conține una dintre cele 30 de laturi ale nucleului, icosaedric regulat.) Fiecare față este o hexagramă cu muchii lungi și scurte alternând și unghiuri de 60°. Triunghiurile echilaterale care ating o latură scurtă fac parte din față.

Nucleu	Laturi lungi	Fețe	Anvelopă	Secțiune
Icosaedru	Marele dodecaedru stelat		Dodecaedru	O față hexagonală (albastru)

Fațetarea dodecaedrului

Format:Imagine multiplă Având 20 de hexagoane autointersectate ca fețe, are aceeași formă externă ca o anumită fațetare a dodecaedrului. Fața hexagonală neconvexă poate fi împărțită în patru triunghiuri echilaterale, dintre care trei au aceeași dimensiune. Un dodecaedru excavat adevărat are cele trei triunghiuri echilaterale congruente ca fețe adevărate ale poliedrului, în timp ce triunghiul echilateral interior nu este considerat față. Fațetarea este un poliedru nobil.

Cele 20 de vârfuri ale anvelopei convexe se potrivesc cu aranjamentul vârfurilor dodecaedrului.

Diagrama de stelare

Stelare

După Wenninger, este al 28-lea model al său, „a treia stelare”. Format:Clearleft

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor dodecaedrului excavat cu lungimea laturii scurte 2, centrat în origine, sunt aceleași cu ale dodecaedrului regulat, adică toate permutările pare ale:

$(\pm \phi ,\pm \phi ,\pm \phi )$

împreună cu toate permutările pare ale

$(\pm (1+\phi ),\pm 1,0)$

unde $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise

Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturii scurte Format:Mvar este:

$r=\frac{\sqrt{3}}{2}\phi a\approx 1,401259a.$

Volum

Următoarea formulă pentru volum Format:Mvar este stabilită pentru lungimea laturilor scurte Format:Mvar:

$V=\frac{5}{2}\phi a^3\approx 4,045085a^3.$

Forme înrudite

Pavare hexagonală hiperbolică de ordinul 6

Pavare

Cu șase fețe cu șase laturi în jurul fiecărui vârf, este echivalent topologic cu un Format:Ill-wd hiperbolic al pavării hexagonale de ordinul 6, {6,6} și este un tip abstract {6 ,6}₆. Este unul dintre cele zece poliedre regulate abstracte de indice doi cu vârfuri pe o orbită.