Curbură geodezică

Format:Note de subsol2 În Format:Ill-wd curbura geodezică $k_g$ a unei curbe $\gamma$ măsoară cât de departe este curba de a fi o geodezică. De exemplu, pentru o curbă unidimensională de pe o suprafață bidimensională încorporată în spațiul tridimensional, este curbura curbei proiectată pe planul tangent la suprafață. Mai general, într-o varietate $\overline{M}$ dată, curbura geodezică este doar curbura obișnuită a curbei $\gamma$ (vezi mai jos). Totuși, când curba $\gamma$ este restricționată să se afle pe o subvarietate $M$ a $\overline{M}$ (de exemplu, la curbele de pe suprafețe), curbura geodezică se referă la curbura $\gamma$ în $M$ și în general este diferită de curbura $\gamma$ din varietatea ambientală $\overline{M}$. Curbura (ambientală) $k$ a $\gamma$ depinde de doi factori: curbura subvarietății $M$ în direcția $\gamma$ (curbura normală $k_n$), care depinde numai de direcția curbei și de curbura $\gamma$ văzută în $M$ (curbura geodezică $k_g$), care este o mărime de ordinul al doilea. Relația dintre acestea este $k=\sqrt{k_g^2+k_n^2}$. În special, geodezicele de pe $M$ au curbură geodezică zero (sunt „drepte”), astfel încât $k=k_n$, ceea ce explică de ce par curbate în spațiul ambiental ori de câte ori subvarietatea este curbată.

Definiție

Fie o curbă $\gamma$ într-o varietate $\overline{M}$, parametrizată prin Format:Ill-wd, cu versorul tangent $T=d\gamma /ds$. Curbura sa este norma Format:Ill-wd a $T$: $k=\Vert DT/ds\Vert$. Dacă $\gamma$ se află pe $M$, curbura geodezică este norma proiecției derivatei covariante $DT/ds$ pe spațiul tangent la subvarietate. Invers, curbura normală este norma proiecției $DT/ds$ pe fibratul normal la subvarietate în punctul considerat.

Dacă varietatea ambientală este spațiul euclidian ${ℝ}^n$, atunci derivata covariantă $DT/ds$ este chiar derivata obișnuită $dT/ds$.

Exemplu

Fie $M$ sfera unitate $S^2$ in spațiul euclidian tridimensional. Curbura normală a lui $S^2$ este 1, independent de direcția luată în considerare. Cercurile mari au curbură $k=1$, deci au curbură geodezică zero, prin urmare sunt geodezice. Cercurile mai mici cu raza $r$ vor avea curbură $1/r$ și curbură geodezică $k_g=\frac{\sqrt{1-r^2}}{r}$.

Unele rezultate care implică curbura geodezică

• Curbura geodezică nu este alta decât curbura obișnuită a curbei atunci când este calculată intrinsec în subvarietatea $M$. Nu depinde de modul în care subvarietatea $M$ se află în $\overline{M}$.
• Geodezicele $M$ au curbură geodezică zero, ceea ce este echivalent cu a spune că $DT/ds$ este ortogonală cu spațiul tangent la $M$.
• Pe de altă parte, curbura normală depinde foarte mult de modul în care se află subvarietatea în spațiul ambiental, dar marginal de curbă: $k_n$ depinde doar de punctul de pe subvarietate și de direcția $T$, dar nu de $DT/ds$.
• În geometria generală riemanniană, derivata este calculată folosind conexiunea Levi-Civita $\overline{\mathrm{\nabla }}$ a varietății ambientale: $DT/ds={\overline{\mathrm{\nabla }}}_{T}T$. Ea are o parte tangentă și o parte normală la subvarietate: ${\overline{\mathrm{\nabla }}}_{T}T={\mathrm{\nabla }}_{T}T+({\overline{\mathrm{\nabla }}}_{T}T{)}^{\perp }$. Partea tangentă este derivata obișnuită ${\mathrm{\nabla }}_{T}T$ din $M$ (este un caz particular de ecuație Gauss din Format:Ill-wd), în timp ce partea normală este $\mathrm{I}\mathrm{I}(T,T)$, unde $\mathrm{I}\mathrm{I}$ este a doua formă fundamentală.
• Format:Ill-wd.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation.
• Format:En icon Slobodyan, Yu.S. (2001) [1994], "Geodesic curvature", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.

Legături externe

• Format:En icon Format:Mathworld