Cub snub

O construcție geometrică a constantei tribonacci (AC), cu rigla și compasul, după metoda descrisă de Xerardo Neira

În geometrie cubul snub este un poliedru arhimedic. Are 38 de fețe, din care 8+24 triunghiulare și 6 pătrate, 24 de vârfuri și 60 de laturi.

Este un poliedru chiral, adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe”) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dă compusul de două cuburi snub, iar anvelopa convexă al ambelor seturi de vârfuri este un cuboctaedru trunchiat.

Are indicele de poliedru uniform U₁₂, indicele Coxeter C₂₄ și indicele Wenninger W₁₇.

Johannes Kepler l-a denumit inițial în Format:La în lucrarea sa Harmonices Mundi din 1619. H.S.M. Coxeter a remarcat că ar putea fi derivat în mod egal din octaedru, ca și cubul, numit „cuboctaedru snub”, cu simbolul Schläfli extins vertical $s\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$, și reprezentând o alternare a unui cuboctaedru trunchiat, care are simbolul Schläfli $t\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$.

Dimensiuni

Pentru un cub snub cu lungimea laturii 1, aria și volumul acestuia sunt:

$\begin{array}{cccc}A& =6+8\sqrt{3}& & \approx 19,8564064606\\ V& =\frac{8t+6}{3\sqrt{2(t^2-3)}}& & \approx 7,88947739998\end{array}$

unde t este constanta tribonacci

$t=\frac{1+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}}{3}\approx 1,83928675521.$

Dacă cubul snub inițial are lungimea laturii 1, dualul său, icositetraedrul pentagonal are lungimea laturii

$\frac{1}{\sqrt{t+1}}\approx 0,593465$ și $\frac{\sqrt{t+1}}{2}\approx 0,842509.$.

Volumul unui cub snub cu lungimea laturii $a$ poate fi calculat cu relația:

$V=\frac{3\sqrt{t-1}+4\sqrt{t+1}}{3\sqrt{2-t}}{a}^3\approx 7,88947739998a^3$,

unde Format:Mvar este constanta tribonacci de mai sus.

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui cub snub centrat în origine sunt permutările pare ale

(±1, ±Format:Sfrac, ±t)

cu un număr par de semne plus, împreună cu toate permutările impare cu un număr impar de semne plus, unde t ≈ 1,83929 este constanta tribonacci. Permutările pare cu un număr impar de semne plus și permutările impare cu un număr par de semne plus, dau un cub snub diferit, imaginea în oglindă a precedentului. Ambele împreună formează compusul de două cuburi snub.

Cu aceste coordonate lungimea laturilor cubului snub este $\alpha =\sqrt{2+4t-2t^2}$, un număr care este o soluție a ecuației

${\alpha }^6-4{\alpha }^4+16{\alpha }^2-32=0,$

și care poate fi scrisă ca

$\begin{array}{cc}\alpha & =\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{16}{3\beta }+\frac{2\beta }{3}}\approx 1,60972\\ \beta & =\sqrt[3]{26+6\sqrt{33}}\end{array}$

Pentru a obține un cub snub cu lungimea laturii 1, se împart toate coordonatele de mai sus cu valoarea Format:Mvar de mai sus.

Proiecții ortogonale

Cubul snub nu are simetrie față de centru, ca urmare vârful din față nu corespunde unui vârf opus din spate

Cubul snub are două proiecții ortogonale particulare, centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pătrate, care corespund cu planele Coxeter A₂ și B₂ și una centrată pe mijlocul laturilor.

Proiecții ortogonale

Centrată pe	Fața triunghi	Fața pătrat	Latură
Corp
Cadru de sârmă
Simetrie proiectivă	[3]	[4]+	[2]
Dual

	centrată pe pătrat
Proiecție ortogonală	Proiecție stereografică

Pavare sferică

Cubul snub poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat pe plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte (geodezicele) de pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc. Format:-

Relații geometrice

Format:Imagine multiplă Format:Imagine multiplă Cubul snub poate fi generat luând cele șase fețe ale cubului, deplasându-le spre exterior, apoi rotindu-le în jurul centrelor lor (toate în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers) până când spațiile dintre pot fi umplute cu triunghiuri echilaterale.

Cubul snub poate fi derivat și din cuboctaedrul trunchiat prin procesul de alternare. 24 de vârfuri ale cuboctaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu cubul snub, celelalte 24 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat este tranzitiv pe vârfuri dar nu este uniform.

Un cub snub „îmbunătățit”, cu o față pătrată puțin mai mică și fețe triunghiulare puțin mai mari în comparație cu cubul snub uniform (poliedrul arhimedic), este util la reprezentările pe sferă. Format:-

Poliedre înrudite

Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat. Format:Trunchieri octaedrice

Variante de simetrii

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări snub cu configurațiile vârfului (3.3.3.3.n.) și diagrama Coxeter–Dynkin Format:CDD. Aceste figuri și dualele lor au simetrie de rotație (n32) în notația orbifold, existând în planul euclidian pentru n = 6, iar în planul hiperbolic pentru orice n mai mare. Se poate considera că familia începe cu n = 2, care are fețele degenerate în digoane. Format:Tabel snub

Cubul snub este al doilea din seria poliedrelor și pavărilor snub cu configurația vârfului 3.3.4.3.n. Format:Tabel snub4

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite journal
• Format:En icon Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., Format:ISBN. (Section 3-9)
• Format:En icon Format:Cite book

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• Format:Commons category-inline
• Format:En icon Format:Mathworld
• Format:En icon Format:Mathworld
• Format:En icon The Uniform Polyhedra
• Format:En icon Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• Format:En icon Editable printable net of a Snub Cube with interactive 3D view

• Format:En icon Format:KlitzingPolytopes Cheie: snic