Compus de cinci tetraedre

În geometrie compusul de cinci tetraedre este unul dintre cei cinci compuși poliedrici regulați. Acest poliedru poate fi considerat fie o stelare a icosaedrului, fie ca un compus. Acest compus a fost descris pentru prima dată de Edmund Hess în 1876.

Poate fi considerat și o fațetare a unui dodecaedru regulat.

Are indicele de compus uniform UC₀₅ și indicele Wenninger 24.

Compusul

Este un compus poliedric din cinci tetraedre și are simetrie icosaedrică chirală (I). Este unul dintre cei cinci compuși regulații construiți din poliedre platonice identice.

Are aceeași configurație a vârfurilor ca și dodecaedrul.

Există două forme enantiomorfe (aceeași figură, dar cu chiralitate opusă) ale acestui poliedru compus. Ambele forme împreună creează reflexia simetrică compus de zece tetraedre.

Are o densitate mai nare decât 1.

Ca pavare sferică

Model transparent (animație)

Cinci tetraedre intercalate

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt date de:

$(\pm \frac{\sqrt{2}}{4},\pm \frac{\sqrt{2}}{4},\pm \frac{\sqrt{2}}{4})$,

plus toate permutările lui:

$(\pm \frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{8},\pm \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{8},0)$.

Volum

Următoarea formulă pentru volum Format:Mvar este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) Format:Mvar:

$V=\frac{5\sqrt{2}}{12}{a}^3\approx 0,589256a^3.$

Ca stelare

Compusul de cinci tetraedre poate fi considerat o stelare a icosaedrului.

Diagrama stelării	Nucleul stelării	Anvelopa convexă
	Icosaedru	dodecaedru

Compusul de cinci tetraedre în dodecaedru

Ca fațetare

Este o fațetare a dodecaedrului, cum se vede din imaginea alăturată.

Teoria grupurilor

Compusul de cinci tetraedre este o ilustrare geometrică a noțiunilor de Format:Ill-wd, după cum urmează.

Grupul de simetrie al compusului este grupul icosaedric de rotație I de ordinul 60, în timp ce stabilizatorul unui singur tetraedru ales este grupul tetraedric de rotație T de ordinul 12, iar spațiul orbitelor I/T (de ordinul 60/12 = 5) este identificat în mod natural cu cele 5 tetraedre – setul gT îi corespunde tetraedrului g.

O proprietate duală neobișnuită

Compus de cinci tetraedre

Compusul este unul neobișnuit, prin aceea că dualul său este enantiomorf cu cel inițial. Dacă fețele sunt răsucite la dreapta, atunci vârfurile sunt răsucite la stânga. La dual, fețele devin vârfuri răsucite la dreapta, iar vârfurile devin fețe răsucite la stânga, dând geamănul chiral. Figurile cu această proprietate sunt extrem de rare.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book (1st Edn University of Toronto (1938))
• Format:En icon H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, Format:ISBN, 3.6 The five regular compounds, pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104

Vezi și

• Lista compușilor poliedrici uniformi

Compuși regulați

• Compus de două tetraedre
• Compus de zece tetraedre
• Compus de cinci cuburi
• Compus de cinci octaedre

Compuși de tetraedre

• Compus de două tetraedre
• Compus de trei tetraedre
• Compus de patru tetraedre
• Compus de șase tetraedre
• Compus de șase tetraedre cu libertate de rotație
• Compus de zece tetraedre
• Compus de douăsprezece tetraedre cu libertate de rotație

Legături externe

• Format:Commonscat-inline
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Metal Sculpture of Five Tetrahedra Compound
• Format:En icon VRML model
• Format:En icon Compounds of 5 and 10 Tetrahedra by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.
• Format:En icon Format:KlitzingPolytopes
• Format:En icon Polyhedron Category C1: Compound Regulars: Ki