Caustică (matematică)

Caustică de reflexie generată de un arc de cerc și un fascicul de raze paralele

În geometria diferențială, o caustică este Format:Ill-wd unor drepte, fie reflectate, fie refractate de o varietate (dirimantă). Este legată de conceptul de Format:Ill-wd din optica geometrică. Sursa razelor poate fi un punct (numit radiant) sau raze paralele dintr-un punct de la infinit, caz în care trebuie specificat un vector de direcție al razelor.

În general, mai ales aplicată la geometria simplectică și Format:Ill-wd, o caustică este mulțimea valorilor critice ale unei aplicații lagrangiene Format:Nowrap unde Format:Nowrap este o imersiune lagrangiană a unei submulțimi lagrangiene L într-o mulțime simplectică M, iar Format:Nowrap este un fibrat lagrangian al mulțimii simplectice M. Caustica este o submulțime a fibratului lagrangian B.

Explicație

Razele refractate de o suprafață care nu este plană formează caustice unde multe dintre ele se intersectează

Concentrarea luminii, în special a Soarelui, poate arde. Cuvântul caustic provine din Format:Gr (= fierbinte), prin Format:La.

O situație comună în care causticele sunt vizibile este la lumina dintr-un pahar de băut. Sticla aruncă o umbră, dar produce și o regiune curbă de lumină strălucitoare. În circumstanțe ideale (inclusiv raze perfect paralele, ca de la o sursă punctuală aflată la infinit), poate fi produsă o zonă de lumină în formă de Format:Ill-wd. Causticele ondulate se formează de obicei atunci când lumina strălucește prin valuri de pe apă.

O altă caustică familiară este curcubeul. Împrăștierea luminii prin picăturile de ploaie face ca diferitele lungimi de undă ale luminii să se refracte diferit pe arcele din picături, producând curcubeul.

Catacaustică

O catacaustică este produsă prin reflexie.

Pentru razele care pleacă dintr-un punct radiant, este evoluta podarei radiantului.

Cazul planar cu raze paralele: se presupune că vectorul direcție este $(a,b)$ și curba care reflectă este parametrizată ca $(u(t),v(t))$. Vectorul normal într-un punct este $(-v^{\prime }(t),u^{\prime }(t))$; reflectarea vectorului de direcție este (normal necesită o normalizare particulară)

$2{\text{proj}}_{n}d-d=\frac{2n}{\sqrt{n\cdot n}}\frac{n\cdot d}{\sqrt{n\cdot n}}-d=2n\frac{n\cdot d}{n\cdot n}-d=\frac{(av{\text{'}}^2-2b{u}^{\prime }{v}^{\prime }-au{\text{'}}^2,bu{\text{'}}^2-2a{u}^{\prime }{v}^{\prime }-bv{\text{'}}^2)}{v{\text{'}}^2+u{\text{'}}^2}$

Având componentele vectorului reflectat, el va fi tratat drept tangentă

$(x-u)(bu{\text{'}}^2-2a{u}^{\prime }{v}^{\prime }-bv{\text{'}}^2)=(y-v)(av{\text{'}}^2-2b{u}^{\prime }{v}^{\prime }-au{\text{'}}^2).$

Din cea mai simplă formulă a înfășurătoarei se obține

$F(x,y,t)=(x-u)(bu{\text{'}}^2-2a{u}^{\prime }{v}^{\prime }-bv{\text{'}}^2)-(y-v)(av{\text{'}}^2-2b{u}^{\prime }{v}^{\prime }-au{\text{'}}^2)$

$=x(bu{\text{'}}^2-2a{u}^{\prime }{v}^{\prime }-bv{\text{'}}^2)-y(av{\text{'}}^2-2b{u}^{\prime }{v}^{\prime }-au{\text{'}}^2)+b(uv{\text{'}}^2-uu{\text{'}}^2-2v{u}^{\prime }{v}^{\prime })+a(-vu{\text{'}}^2+vv{\text{'}}^2+2u{u}^{\prime }{v}^{\prime })$

$F_t(x,y,t)=2x(b{u}^{\prime }{u}^{″}-a(u^{\prime }{v}^{″}+u^{″}{v}^{\prime })-b{v}^{\prime }{v}^{″})-2y(a{v}^{\prime }{v}^{″}-b(u^{″}{v}^{\prime }+u^{\prime }{v}^{″})-a{u}^{\prime }{u}^{″})$

$+b(u^{\prime }v{\text{'}}^2+2u{v}^{\prime }{v}^{″}-u{\text{'}}^3-2u{u}^{\prime }{u}^{″}-2u^{\prime }v{\text{'}}^2-2u^{″}v{v}^{\prime }-2u^{\prime }v{v}^{″})+a(-v^{\prime }u{\text{'}}^2-2v{u}^{\prime }{u}^{″}+v{\text{'}}^3+2v{v}^{\prime }{v}^{″}+2v^{\prime }u{\text{'}}^2+2v^{″}u{u}^{\prime }+2v^{\prime }u{u}^{″})$

care poate fi inestetic, dar $F=F_t=0$ dă un Format:Ill-wd în $(x,y)$ și obținerea unei parametrizări a catacausticei este elementară. Se poate folosi Format:Ill-wd.

Exemplu

Fie vectorul direcției (0,1) și curba care reflectă $(t,t^2).$ Atunci

$u^{\prime }=1$   $u^{″}=0$   $v^{\prime }=2t$   $v^{″}=2$   $a=0$   $b=1$

$F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^2)+4t(y-t^2)=x(1-4t^2)+4ty-t$

$F_t(x,y,t)=-8tx+4y-1$

iar $F=F_t=0$ are soluția $(0,1/4).$; De exemplu, lumina care intră întru-n reflector parabolic de-a lungul axei sale este reflectată în focar.

Legături externe

• Format:En icon Format:MathWorld