142857 (număr)

Format:Infocaseta Număr Numărul 142857 este perioada fracției Format:Sfrac = 0,(142857). Este cel mai bine cunoscut număr ciclic în baza 10. Dacă este înmulțit cu 2, 3, 4, 5 sau 6, rezultatul va fi o permutare ciclică a lui însuși și va corespunde perioadelor lui Format:Sfrac, Format:Sfrac, Format:Sfrac, Format:Sfrac, respectiv Format:Sfrac.

Este un număr Kaprekar.

Calcul

1 × 142857 = 142857

2 × 142857 = 285714

3 × 142857 = 428571

4 × 142857 = 571428

5 × 142857 = 714285

6 × 142857 = 857142

7 × 142857 = 999999

Dacă se înmulțește cu un număr întreg mai mare de 7, există un proces simplu pentru a ajunge la o permutare ciclică de 142857. Adăugând cele șase cifre din dreapta (de la unu la suta de mii) la cifrele rămase și repetând acest proces până când rămân doar șase cifre, va avea ca rezultat o permutare ciclică de 142857:

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

Prin acest proces, înmulțirea cu un multiplu de 7 va avea ca rezultat 999999:

142857 × 7⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Dacă se ridică la pătrat ultimele trei cifre și apoi se scade pătratul primelor trei cifre se obține o permutare ciclică a numărului.

857² = 734449

142² = 20164

734449 − 20164 = 714285

Este perioada zecimală a numărului rațional Format:Sfrac = 0,(142857). Astfel, multiplii lui Format:Sfrac sunt copii repetate ale multiplilor corespunzători ai lui 142857:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{7}& =0,142857142857\dots \\ \frac{2}{7}& =0,285714285714\dots \\ \frac{3}{7}& =0,428571428571\dots \\ \frac{4}{7}& =0,571428571428\dots \\ \frac{5}{7}& =0,714285714285\dots \\ \frac{6}{7}& =0,857142857142\dots \\ \frac{7}{7}& =0,999999999999\dots =1\\ \frac{8}{7}& =1,142857142857\dots \\ \frac{9}{7}& =1,285714285714\dots \\ & ⋮\end{array}$

Legătura cu eneagrama

Șirul de numere 142857 este folosit în eneagrama din Fourth Way de Georges Ivanovitch Gurdjieff pentru a explica și vizualiza dinamica interacțiunii dintre cele două mari legi ale Universului (conform lui Gurdjieff), „Legea lui Trei” și „Legea lui Șapte”. Mișcarea numerelor lui 142857 împărțit la Format:Sfrac, Format:Sfrac etc. și mișcarea ulterioară a eneagramei sunt descrise în dansurile sacre ale lui Gurdjieff cunoscute sub numele de „mișcări”.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book