Cel mai mare divizor comun

Un număr întreg $d$ se numește cel mai mare divizor comun (prescurtat c.m.m.d.c.) a numerelor întregi $a$ și $b$ dacă și numai dacă pentru orice divizor comun $c$ al lui $a$ și $b$, $c$ este un divizor al lui $d$.

Este numit c.m.m.d.c. un număr întreg $d$ având proprietățile:

• $d|a$ și $d|b$ ($d$ este divizor comun al numerelor $a$ și $b$);
• orice alt divizor comun $d^{\prime }$ al numerelor $a$ și $b$ divide pe $d$ (adică ($d^{\prime }|a$ și $d^{\prime }|b=>d^{\prime }|d$)).

Teorema:

Fie $a$ și $b$ două numere întregi. Atunci există exact două numere întregi opuse, $d$ și $(-d)$, cu statut de c.m.m.d.c. al numerelor $a$ și $b$.

Observație: Numărul pozitiv dintre cele două se noteaza $(a;b)$, iar valoarea sa se calculează folosind algoritmul lui Euclid.

Teorema:

Fie $a$ și $b$ două numere întregi și $d$ un c.m.m.d.c. al lor (oricare din cei doi). Atunci există două numere întregi, $k1$ și $k2$, astfel încât $d$ $=$ $k$$1$ $.$ $a$ $+$ $k$$2$ $.$ $b$.

Exemplu:

Dacă $-3=(6;9)$, atunci există numerele întregi $-2$ și $1$, astfel încât $-$$3$ $=$ $($$-$$2$$)$ $.$ $6$ $+$ $1$ $.$ $9$.

Observatii: Două numere întregi $a$ și $b$ se numesc prime între ele dacă $(a;b)=1$. Deducem că două numere întregi $a$ și $b$ sunt prime între ele dacă și numai dacă există două numere întregi, $k1$ și $k2$, astfel încât $1$ $=$ $k$$1$ $.$ $a$ $+$ $k$$2$ $.$ $b$.

Algoritmul privind calculul c.m.m.d.c.:

1. Se descompun numerele în factori primi;
2. Se aleg factorii primi comuni (o singură dată fiecare), cu exponentul cel mai mic și se înmulțesc între ei.

Produsul obținut este c.m.m.d.c. căutat.

Exemplu:

• $a=12=2^2\cdot 3$,
• $b=8=2^3$,
• $c=20=2^2\cdot 5$,

Deci:

$d=2^2=4$

Prin urmare:

$d=(12,8,20)=4$