Algebră boreliană

Algebra boreliană este un concept al matematicii, utilizat în topologie și teoria măsurii. Numele se datorează matematicianului francez Émile Borel.

Definiție

Fie $\mathrm{\Omega }$ un spațiu topologic. Atunci algebra boreliană asociată este sigma-algebră minimă care conține mulțimile deschise din $\mathrm{\Omega }$ .

O altă definiție (neechivalentă cu prima!) se obține înlocuind termenul de mulțime deschisă cu cel de mulțime compactă.

Generarea algebrei boreliene

În cazul particular în care $\mathrm{\Omega }$ este spațiu metric, algebra boreliană poate fi descrisă astfel:

Fie $𝒫(\mathrm{\Omega })$ mulțimea părților lui $\mathrm{\Omega }$ . Definim:

• $T_{\sigma }$ toate reuniunile de mulțimi numărabile din $𝒫(\mathrm{\Omega })$ ,

• $T_{\delta }$ toate intersecțiile de mulțimi numărabile din $𝒫(\mathrm{\Omega })$ ,

• $T_{\delta \sigma }=(T_{\delta }{)}_{\sigma }$ .

Definim prin inducție un șir $G^n$ unde $n\in \mathbb{N}$ astfel:

• $G^0=$ mulțimea tuturor mulțimilor deschise din $\mathrm{\Omega }$ .

• $G^i={G^{i-1}}_{\sigma \omega }$ .

• $G^i=\bigcup _{j<i}{G}^j$ .

Astfel, algebra boreliană este $G^n$ pentru un n indefinit (care tinde la infinit), așadar această algebră poate fi generată plecând de la mulțimea mulțimilor deschise și iterând operația:

$G\mapsto G_{\delta \sigma }$ .

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Edituira Enciclopedică Română, București, 1974
• Ion, I.D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Legături externe

• Format:Ro icon Curs al Universității din București. Format:Webarchive

• Format:En icon Algebra boreliană la Wolfram MathWorld.

• Format:En icon Algebra boreliană la PlanetMath. Format:Webarchive