Ortonormalitate

În algebra liniară, doi vectori dintr-un spațiu cu produs scalar sunt ortonormali dacă sunt ortogonali (au produsul scalar 0) și au amândoi lungimea unitară (norma fiecăruia este 1). O mulțime de vectori ortonormali doi câte doi (oricare doi vectori din mulțime sunt ortonormali) se numește mulțime ortonormală. O bază care formează o mulțime ortonormală se numește bază ortonormală.

De exemplu, baza standard din Spațiul euclidian de 3 dimensiuni {i,j,k} este ortonormală, deoarece i·j = 0, j·k = 0, k·i = 0 și fiecare dintre ei este un versor.

O mulțime de vectori poate fi transformată într-o mulțime ortonormală prin aplicarea procedeului Gram-Schmidt, și apoi prin normalizarea fiecărui vector. În cazul funcțiilor reale, se presupune de regulă produsul scalar L² deci două funcții $\varphi (x)$ și $\psi (x)$ sunt ortonormale peste intervalul $[a,b]$ dacă

$(1)⟨\varphi (x),\psi (x)⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\varphi (x)\psi (x)dx=0,\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}$

$(2)||\varphi (x)|{|}_2=||\psi (x)|{|}_2={[\underset{a}{\overset{b}{\int }}|\varphi (x){|}^{2}dx]}^{\frac{1}{2}}={[\underset{a}{\overset{b}{\int }}|\psi (x){|}^{2}dx]}^{\frac{1}{2}}=1.$

O formulare echivalentă a celor două condiții este dată de operatorul Kronecker. O mulțime de vectori (funcții, matrice, secvențe etc)

$\{u_1,u_2,...,u_n,...\}$

formează o mulțime ortonormală dacă și numai dacă

$\mathrm{\forall }n,m:⟨u_n|u_m⟩={\delta }_{n,m}$

unde < | > este produs scalar definit peste spațiul vectorial.

Vezi și

• Bază ortonormată